SS06 (Wiederholungsprüfung, Zehrt, mit Lösungen)

Übungsversion
Hinweise:
AF
T
Wiederholungsprüfung Mathematik 2
Sommersemester 2006
• Die Prüfung umfasst 5 Aufgaben (I bis V).
• Die Bewertung der Teilaufgaben erfolgt gemäss den eingerahmten Punktzahlen.
• Provisorische Berechnungen sind auf separaten Blättern auszuführen. Diese Blätter sind -als Entwurf
gekennzeichnet- ebenfalls abzugeben.
• Die definitive Lösung darf von jeder Aufgabe nur eine Version enthalten und hat direkt im Anschluss
an diese Aufgabe zu erfolgen. Dabei müssen alle Rechenschritte klar ersichtlich sein.
• Die ausgeteilten Formelsammlungen (Mathematik 1 und 2) dürfen nicht beschriftet werden und sind
ebenfalls mit der Prüfung abzugeben.
Aufgabe
II
III
IV
DR
Punkte
I
V
P
Note
Aufgabe I
18 Punkte
1. Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind:
4

AF
T
 

 
−1
1
1
 2 ,  −1  und  0 .
1
3
7
2. Für welche Werte a ist der Rang der Matrix


−4 2
1 2 
14 a
2
A= 3
0
gleich 3?
4
2
3. Gegeben sei die Funktion f (x, y) = 4(ln(x)) + y 2 . Berechnen Sie den allgemeinen
Gradienten und den Gradienten im Punkt (2, 2).
1 1
5
0
4. Seien die beiden Matrizen A =
und B =
gegeben.
1 2
0 1/4
Berechnen Sie (A · B)−1 und (A · B)T .
Aufgabe II
6
4
22 Punkte
1. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mittels der Methode von Gauß.
x
2x
4x
+
−
+
2y
y
3y
−
+
−
3z
4z
2z
=
=
=
6
6
2
14
2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
+
−
+
y
y
y
+
−
+
DR
x
2x
4x
2z
3z
az
=
=
=
6
4
16a
(a) Für welches a gibt es unendlich viele Lösungen und für welche a gibt
es genau eine Lösung?
(b) Geben Sie in beiden Fällen die jeweiligen Lösungen an.


2
0
2
3. Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A =  5 −3
3 .
−1
0 −2
Aufgabe III
5
5
6
18 Punkte
1. Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate für die Wertepaare
xi
yi
5
12
6
8
7
7
8
5
eines Messvorgangs die Regressionskurve der Gestalt y = f (x) = a + bx.
6
2. Für welche Werte von a ist die Lösung der linearen Differenzengleichung 1. Ordnung
2 yk+1 − a · yk
= 3,
a 6= 0 und a 6= 2
monoton und gedämpft?
6
AF
T
3. Welche Lösung der Differenzengleichung 2. Ordnung
yk+2 + yk+1 − 6yk
=
0
erfüllt die Anfangsbedingungen y0 = 1 und y1 = 7?
Aufgabe IV
6
18 Punkte
1. Für einen Mathematikkurs bewerben sich 20 Damen und 25 Herren. Es können aber nur 15 Damen
und 20 Herren teilnehmen. Wieviele verschiedene Möglichkeiten der Auswahl unter den Bewerbern
gibt es?
4
2. A und B seien zwei Ereignisse und es gelte
P (A) = 0.3 , P (B) = 0.5
und
P (A ∪ B) = 0.7.
Entscheiden Sie für jede der folgenden Aussagen: wahr / falsch und begründen Sie Ihre Antwort.
6
(a) A und B sind unvereinbar.
(b) A und B sind unabhängig.
(c) P B|A > P (B|A).
3. Die Produktion einer Firma wird von zwei Kontrolleuren mit den Anteilen 30% bzw. 70% sortiert.
Dabei ist für den ersten bzw. zweiten Kontrolleur die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Fehlentscheidung
zu treffen, gleich 0.03 bzw. 0.05. Es wird beim Versand ein fehlsortiertes Teil gefunden.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde es vom ersten bzw. vom zweiten Kontrolleur sortiert?
4
(b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Teil richtig einsortiert
wurde.
4
18 Punkte
DR
Aufgabe V
1. X sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte

 0
1 − cx
f (x) =

0
6
für x < 0
für 0 ≤ x ≤ 3 .
für x > 3
(a) Bestimmen Sie die Konstante c.
(b) Berechnen Sie E(X).
(c) Berechnen Sie P (1 ≤ X ≤ 2).
2. Aus Erfahrungswerten sei bekannt, dass ein neugeborenes Kind mit Wahrscheinlichkeit 0.515 ein Junge
ist. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Familie mit sechs Kindern
6
(a) alle Kinder Mädchen,
(b) mindestens 3 der Kinder Mädchen sind?
3. Eine Maschine produziert Bandnudeln, deren Längen normalverteilt sind. Die durchschnittliche Nudellänge
µ kann eingestellt werden, jedoch beträgt die Standardabweichung σ unabhängig davon immer 2 mm.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der eingestellte Wert µ = 50 mm um mehr als 3 mm
unterschritten wird?
6
(Hinweis: Es gilt Φ(1.5) ≈ 0.9332.)
Lösungen
1. linear abhängig (Zeilenstufenform oder Determinante nutzen)
2. a 6= −2
II
2
3. fx = 4(ln x) · 2 · ln 4 · ln x · x1
2/5 −1/5
5
4.
und
−4
4
1/4

  

x
2
−1
1.  y  =  2  + t  2
z
0
1
und fy = 2y sowie fx (2, 2) = 1.87043 und fy (2, 2) = 4
5
1/2

AF
T
I

2. Das System
vieleLösungen gibt es, falls a = 1 und die Lösungen
 ist immer
 lösbar. Unendlich

x
10/3
1/3
sind dann  y  =  8/3  + t  −7/3 . Genau eine Lösung gibt es, falls a 6= 1 ist und
z
0
1

 

26/3
x
diese Lösung ist dann  y  =  −104/3 
16
z
√
√
3. −3, 2 und − 2
III
1. y = f (x) = −2.1x + 21.6
2. monoton falls a > 0 und gedämpft falls −2 < a < 2, also monoton und gedämpft falls 0 < a < 2.
IV
3. yk = 2k+1 − (−3)k
25
′
′
1. 20
15 · 20 = 823 727 520
2. Nein, nein und ja.
3. (a) 0.2 bzw. 0.8
V
1. (a) 4/9
(b) 0.956
(b) 1/2
(c) 1/3
2. Binomialverteilung (a) 0.013
(b) 0.6276
DR
3. 1 − Φ(1.5) = 0.0668