1. Übungsblatt (KW 17, 2006)

Mathematische Methoden SoSe 06
Seite 1
Üb 1, KW 17
Einführung in die Wahrscheinlichkeitrechnung
Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk
Assistent: Dipl.-Ing. Uwe Herbrich
1. Zur Verbundwahrscheinlichkeit
Ein grüner und ein roter Würfel werden geworfen. Die Menge S der möglichen Ergebnisse hat 36
Elemente. Unter Benutzung der Abkürzung (x, y) für der grüne Würfel zeigt die Zahl x und der
”
rote Würfel die Zahl y“ erhalten wir
(1, 1)
(2, 1)
·
(6, 1)
(1, 2)
(2, 2)
·
(6, 2)
(1, 3)
(2, 3)
·
(6, 3)
(1, 4)
(2, 4)
·
(6, 4)
(1, 5)
(2, 5)
·
(6, 5)
(1, 6)
(2, 6)
·
(6, 6)
Eine Menge von n Elementen besitzt 2n Teilmenge (hier: 236 Teilmengen). Es sind aber nur wenige
von besonderem Interesse, selbst für Würfelspieler. Es sind etwa die folgenden:
(a) S1 =Menge der Würfe, für die die Augensumme 7 beträgt.
(b) S2 =Menge der Würfe mit der Augensumme 11.
(c) HA: S3 =Menge der Würfe, bei denen die Augensumme entweder 7 oder 11 beträgt.
Wenn irgendein Experiment gemacht wird (wie in diesem Beispiel), so können wir nach der Menge
der möglichen Ergebnisse fragen. Derartige Mengen und ihre Teilmengen haben eine große Bedeutung in der mathematischen Theorie der Wahrscheinlichkeit.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für die Mengen S1 bis S3 an.
2. Geordnetes Zahlenpaar, -tripel, -tupel
Es sei die Menge A = {1, 2, 3 . . . 365} gegeben.
(a) Aus dieser Menge sollen zwei Zahlen, jedesmal aus der vollen Menge, unter Beachtung der
Ordnung ausgewählt werden. Das Ergebnis ist ein geordnetes Zahlenpaar. Wieviele gibt es?
(b) HA: Es sollen, jedesmal aus der vollen Menge A, drei Zahlen geordnet ausgewählt werden.
Wieviele geordnete Zahlentripel ergibt dies?
(c) HA: Dieselbe Frage wie unter Teil (b) für r Zahlen. (Bemerkung: Eine allgemeine Definition
eines geordneten r−Tupels (ordered r-tuple) wird später gegeben.)
3. HA: Wahrscheinlichkeit für wenigstens ein Ereignis
Zeigen Sie anhand eines Graphen, daß die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten wenigstens eines der
drei Ereignisse E1 , E2 und E3 durch
P (E1 ∪ E2 ∪ E3 ) = P (E1 ) + P (E2 ) + P (E3 )
−P (E1 ∩ E2 ) − P (E1 ∩ E3 ) − P (E2 ∩ E3 ) + P (E1 ∩ E2 ∩ E3 )
(1)
gegeben ist.
Berechnen Sie mit Hilfe der Gleichung (1) die Wahrscheinlichkeit, daß die Zahl, die willkürlich aus
der Menge der ersten 200 natürlichen Zahlen gewählt wird, durch 6, 8 oder 10 teilbar ist.
Version 16. Mai 2006
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Üb 1, KW 17
Einführung in die Wahrscheinlichkeitrechnung
Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk
Assistent: Dipl.-Ing. Uwe Herbrich
4. HA: Übersetzung in deutsche Prosa
Ein Student, beeindruckt von der Begriffswelt der Mengenlehre, schrieb den folgenden Text. Übersetze
ihn in die übliche deutsche Prosa.
Es sei C die Menge der Kinder von Herrn und Frau Schmidt. Bis zum 1. März 1998 war C gleich
der Leermenge. Von diesem Datum bis zum 15. März 1999 enthielt die Menge C genau ein Element,
dann wuchs die Anzahl der Elemente auf zwei!
Abgabe: 11. Mai
Version 16. Mai 2006