1. ¨Ubergang von der Biot-Savart-Gleichung zur Oersted

Elektrodynamik WS 05/06
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Üb 6, KW 47
Biot-Savart-Gl. vs. Orested-Gl.
Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk
Assistent: Dipl.-Ing. Uwe Herbrich
1. Übergang von der Biot-Savart-Gleichung zur Oersted-Gleichung
Es war - ausgehend vom Feld einer bewegten Punktladung - die Biot-Savartsche Gleichung für
den Beitrag eines vom Strom I durchflossenen Linienelementes dξ
4π dh =
Idξ × R
R3
mit
R := x − ξ
und R := |R|
hergeleitet worden.
(a) Zeigen Sie: Zu dh existiert ein Vektorpotential dah , so daß
dh = ∇x × dah
ist.
Beachten Sie dabei, daß ∇x R = iR ≡ R/R gilt.
(b) Übertragen Sie das Ergebnis auf räumlich verteilte Ströme j(ξ) = jit mit der Darstellung des
Volumenelementes dVξ =dAds und integrieren Sie über den Raum.
(c) Stellen Sie auch die gesamte magnetische Feldstärke h(x) durch ein solches Integral ausgehend
von der Biot-Savart-Gleichung dar.
Hinweis: In der Potentialtheorie wird gezeigt werden, daß das gefundene Vektorpotential ah die
Poisson-Gleichung
∆ah = −j
erfüllt und die durch die Biot-Savart-Gleichung gelieferte Feldstärke h der Beziehung
∇ × h = j
(verschiebungsstromfreies Durchflutungsgesetz)
genügt.
2. Elektrostatisches Feld einer Raumladungsverteilung
Gegeben seien die Raumladungsverteilungen im Vakuum (d = ε0 e)
a r für r1 ≤ r ≤ r2 , a > 0 und − ∞ < z < ∞
ρe (x) :=
,
0
sonst
r2 := x2 + y 2
(1)
(HA: unendlich langer Hohlzylinder“)
”
und
ρe (x) :=
a R für R1 ≤ R ≤ R2 , a > 0
0
sonst
,
R := |x|
(2)
( Kugelschale“)
”
(a) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke e und das Skalarpotential ϕ im gesamten Raum,
indem Sie die Symmetrie ausnutzen und die Ergiebigkeit des Feldes d untersuchen.
(b) HA: Stellen Sie das ϕ-Feld und das e-Feld als Diagramm über den radialen Abstand R beziehungsweise r im gesamten Raum dar.
Version 31. Mai 2006
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(c) Man ermittle für die angegebenen Ladungsverteilungen jeweils eine Lösung ϕ der PoissonGleichung
∆ϕ = −
ρe
ε0
und bestimme aus dem Potential ϕ das elektrische Feld e.
Abgabe: 8. Dezember
Version 31. Mai 2006