¨Ubung 3 zur Quantenmechanik Wintersemester 2013/14

Prof. Edda Klipp
02.12.2013
Übung 3 zur Quantenmechanik
Wintersemester 2013/14
HU-Berlin - Institut für Theoretische Biophysik
Raum 518
Abgabe bis Montag, 09.12.2013
Aufgabe 1 Rotierendes zweiatomiges Molekül
Wir betrachten ein rotierendes zweiatomiges Molekül, z.B. molekularen Wasserstoff.
Der Hamiltonoperator für dieses System lautet
H=
p~ 2
p~12
+ 2 + V (|~r1 − ~r2 |).
2m1 2m2
a) Wie heißt dieses allgemeine Problem und welche Schritte sind entscheidend
für seine Lösung? (Geben Sie nur stichwortartig die Namen der wichtigsten
Konzepte an, die in der richtigen Reihenfolge das Problem vereinfachen helfen.)
b) Nehmen Sie nun an, Sie haben die Schwerpunktsbewegung gelöst. Welches
Problem verbleibt? Geben Sie den zugehörigen Hamiltonoperator an.
c) Nehmen Sie ferner an, das Potential der Relativbewegung lässt sich durch
eine harmonische Feder der Härte k beschreiben. Wie lautet der verbleibende
Hamiltonoperator Hr nun? Was ist das für ein Problem und wie unterscheidet
es sich von dem in der Vorlesung vom 29.11.?
P
∂2
d) Drücken Sie Hr mit Hilfe des Laplaceoperators ∆ = 3k=1 ∂r
2 aus und formuk
lieren Sie Hr anschließend in Kugelkoordinaten (r, ϑ, φ).
Hinweis 1: Informieren Sie sich in der Wikipedia über Kugelkoordinaten. Es
reicht der erste Abschnitt.
Hinweis 2:
1 ∂
∆f = 2
r ∂r
∂f
r
∂r
2
1
∂
+ 2
r sin ϑ ∂ϑ
∂f
sin ϑ
∂ϑ
+
1
∂ 2f
.
r2 sin2 ϑ ∂φ2
e) Wenn Sie den Grenzwert limk→∞ durchführen, nehmen Sie implizit an, dass die
Freiheitsgrade der Feder nicht angeregt werden können. Die potentielle Energie
nimmt damit ihr Minimum an und kann als konstant weggelassen werden. Die
Relativbewegung wird starr, das Molekül kann sich aber noch drehen. Was
bedeutet die Starrheit für die Terme mit ∂/∂r? Wie lautet die verbleibende
Schrödingergleichung nun?
~ = ~r × p~ gilt (ohne Beweis)
f) Für das Quadrat des Bahndrehimpulses L
2
∂
1 ∂2
1 ∂
2
2
L = −~
+
.
+
∂ϑ2 tan φ ∂ϑ sin2 ϑ ∂φ2
Zeigen Sie, dass die Schrödingergleichung proportional zu einer Eigenwertgleichung für das Quadrat des Bahndrehimpulses ist.
g) Diese Eigenwertgleichung lässt sich durch einen Separationsansatz
Y (ϑ, φ) = P (cos ϑ)M (φ)
vereinfachen. Tun Sie das und geben Sie die beiden resultierenden Differentialgleichungen an.
h) Lösen Sie die Gleichung für M . Welche Eigenwerte sind in dieser Gleichung
möglich, wenn die Wellenfunktion eindeutig sein soll?
i) Nehmen Sie ohne Beweis an, dass die möglichen Eigenwerte von L2 gegeben
sind durch
L2 Yl = ~2 l(l + 1)Yl ,
wobei l eine nichtnegative ganze Zahl ist. Skizzieren Sie auf der E-Achse das
Energiespektrum (Termschema) des starren Moleküls für einige Werte von l.
Wählen Sie geeignete Einheiten und machen Sie diese auf der Achse kenntlich.
j) In der Molekülspektroskopie verwendet man die Termwerte
F (l) =
E(l)
= Bl(l + 1).
hc
B ist molekülspezifisch. Geben Sie einen Formelausdruck für B an. Berechnen
Sie die ersten drei Anregungsenergien aus dem Grundzustand für CO (B =
1.92 cm−1 ) und HCl (B = 10.40 cm−1 ). Warum sind die Bs so unterschiedlich?