Atome, Moleküle, Kondensierte Materie ¨Ubung 9

Atome, Moleküle, Kondensierte Materie
Übung 9
Sommersemester 2011 Universität Bonn
Abgabe bis 09.06.2011 18:00h
in die Ablagen neben Raum 262 HISKP
Aufgabe 9.1: Kurzfragen (7 Punkte)
Als Antwort reicht i.d.R. ein Satz, eine Skizze, ggf. auch Stichwörter.
(a) Warum sind symmetrische Ortswellenfunktion für H2 energetisch günstiger?
(b) Erläutern Sie in einem Satz die Grundidee des LCAO-Ansatzes.
(c) Benennen Sie jeweils mit einem Stichwort die physikalische Ursache von kovalenter, ionischer
und van-der-Waals-Bindung.
(d) Welcher dieser Bindungstypen hat den größten Bindungsabstand?
(e) Welche Energie Evib,n hat der n-te vibronische Zustand in einem Molekül?
(f) Welche der folgenden Translationen beschreiben die Translationssymmetrie des Gitters? Welche Gittervektoren sind primitiv?
Aufgabe 9.2: Ionische Bindung (2 Punkte)
Ionische Bindungen beruhen auf der Coulomb-Wechselwirkung. Die Bindungsenergie EB entspricht
der Arbeit, welche man aufwenden muss, um zwei Ionen (Ionenladungen q+ , q− und Bindungsabstand a) voneinander zu trennen:
Z∞
q+ q−
EB =
dr
4π0 r2
a
(a) Berechnen Sie die Bindungsenergie (in eV) eines KCl-Moleküls, welches sich aus einem
K+ -Ion (rK+ = 33 pm) und einem Cl− -Ion (rCl− = 181 pm) bildet.
(b) Wie ändert sich die Bindungsenergie, wenn man viele K+ - und Cl− -Ionen zu einem Ionenkristall zusammenfügt? Argumentieren Sie qualitativ!
Aufgabe 9.3: Rotationsanregungen von Molekülen (5 Punkte)
Rotationsanregungen von Molekülen sind quantisiert, die Drehimpulsquantenzahl J nimmt nur
ganzzahlige Werte J = 0, 1, 2, . . . an.
(a) Berechnen Sie die Rotationsenergie EJ = 12 Iω 2 für ein Molekül mit Trägheitsmoment I. Wie
groß ist die Energiedifferenz ∆E = EJ+1 − EJ von aufeinanderfolgenden Zuständen J und
J + 1?
(b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Stickstoffmoeleküls
(m = 14 u, Bindungsabstand 2R = 109.8 pm, Kernradius
r = 3.13 fm) für Rotationen senkrecht zur Bindungsachse. In
diesem Fall können Sie die Atome als Punktmassen betrachten (da r R). Das Trägheitsmoment einer Punktmasse ist
I = mR2 , R ist der Abstand zum Rotationszentrum.
2r
2R
(c) In einem Gas im thermischen Gleichgewicht wird pro Freiheitsgrad eine Energie von 12 kB T
gespeichert. Bei welcher Temperatur wird der niedrigste Rotationszustand (mit J = 1) angeregt?
(d) Die innere Energie eines zweiatomigen Gases beträgt 52 kB T , zu dem drei Translations- und
zwei Rotations-Freiheitsgrade beitragen. Der dritte Rotationsfreiheitsgrad (für Drehungen
um die Bindungsachse) ist für die innere Energie nicht relevant. Begründen Sie dies, indem
Sie das Trägheitsmoment für diese Rotation (Trägheitsmoment einer Kugel mit Radius r ist
I = 25 mr2 ) und die Temperatur, bei der auch dieser Freiheitsgrad aktiviert wird, berechnen.
Aufgabe 9.4: Der Mikrowellenherd (3 Punkte)
(a) Rechts sind die drei Normalschwingungen des Wassermoleküls sowie die Energie des niedrigsten Vibrationszustands gezeigt. Normalschwingungen zeichnen sich dadurch aus, dass alle Atome gleichzeitig
durch ihre Ruhelage schwingen und Gesamtimpuls sowie -drehimpuls
verschwinden. Beliebige Schwingungen lassen sich als Linearkombination dieser Normalschwingungen ausdrücken.
Eine Mikrowelle operiert mit einer Frequenz von 2.45 GHz. Vergleichen Sie die Frequenz der Molekülschwingungen mit der der elektromagnetischen Welle und begründen Sie, warum die Vibration von
Molekülen nicht für die Erwärmung des Essens in einem Mikrowellenherd verantwortlich ist!
0.453 eV
0.192 eV
0.466 eV
(b) Überlegen Sie, was abgesehen von vibronischen Anregungen mit den Wassermolekülen im
elektromagnetischen Wechselfeld passieren kann und wie das Essen dadurch warm wird.
(c) Warum kann man Gefrorenes in der Mikrowelle nur schlecht erwärmen?
Aufgabe 9.5: Translationssymmetrie in Kristallen (3 Punkte)
Die Symmetrie unter Translationen ist eine der entscheidenden Eigenschaften, welche einen Kristall
ausmachen. Die Translationssymmetrie eines n-dimensionalen Gitters wird durch n Basisvektoren
beschrieben (sogenannte Bravaisgitter), die die Einheitszelle aufspannen. Die Wahl dieser Vektoren
ist nicht eindeutig.
Zeichnen Sie in die folgen periodischen Strukturen jeweils zwei unterschiedliche Einheitszellen ein,
welche die Periodizität des Gitters wiedergeben:
a)
b)
c)