Klausur zur Stochastik I - an der Universität Duisburg
Werbung
Universität Duisburg-Essen
Campus Duisburg
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. U. Herkenrath
17.07.2013
Klausur zur Stochastik I
vom SoSe 2013
12:00 bis 14:00 Uhr
Nachname
Vorname
Bitte in
Aufgabe
Punkte
Geb.-datum
DRUCKSCHRIFT
Matr.-Nr.
ausfüllen!!!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gesamt
(3)
(3)
(3)
(4)
(4)
(5)
(5)
(4)
(5)
(5)
(41)
P
=
Bestanden: ≥ 22 Punkte (Klausur + Bonuspunkte)
Bonuspunkte: 2 Punkte
- Bitte nicht ausfüllen! Viel
Erfolg!
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Sei IR die Menge der irrationalen Zahlen auf R.
a) Begründen Sie, warum IR eine Borel-Menge ist.
Sei ϕ die Dichte der N (0, 1)-Verteilung, d.h.
1
2
ϕ(x) = √ e−x /2 , x ∈ R.
2π
b) Berechnen Sie den Zahlenwert für
Z
ϕ(x)dx
IR∩[−1,+1]
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Sei Ω eine nicht-leere Menge, E ⊂ P(Ω).
Beweisen Sie:
Der Durchschnitt aller σ-Algebren, die E umfassen, ist eine σ−Algebra.
Aufgabe 3 (3 Punkte)
Berechnen Sie mittels der Verteilungstabelle das 0,2-Quantil der N (µ, σ 2 ) =
N (3, 4)−Verteilung; d.h. den Wert q, für den gilt:
20% der Wahrscheinlichkeitsmasse liegt links von q.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Die Zufallsgröße X sei N (µ, σ 2 )-verteilt, d.h. ihre Dichte f ist gegeben durch
f (x) = √
1 x−µ 2
1
e− 2 ( σ ) , x ∈ R.
2πσ
Berechnen Sie die Dichte g der Zufallsgröße Y = ex .
(Angabe der Dichte auf ganz R)
(e = Eulersche Zahl).
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Ein Stochastiker möchte zur Beurteilung eines Verfahrens eine Stichprobe
vom Umfang n = 100 aus einer Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0
ziehen.
Deren Dichte f ist gegeben durch
(
f (x) =
λe−λx , x ≥ 0
0
, x < 0.
Sein Computer bietet ihm nur die Möglichkeit, eine Stichprobe vom Umfang
n = 100 aus einer Gleichverteilung auf [0, 1] zu ziehen.
Wie gelangt der Stochastiker zu seiner gewünschten Stichprobe?
Ein in der Vorlesung oder den Übungen bewiesenes allgemeines Resultat darf
verwandt werden, eine konkrete Berechnung ist aber gefordert.
Aufgabe 6 (5 Punkte)
Die Zufallsgröße X habe die Dichte
(
f (x) =
|1 − x|
0
für 0 ≤ x ≤ 2,
sonst.
Berechnen Sie
E[X], Var[X] und den Median Med[X].
Aufgabe 7 (5 Punkte)
Es seien X, Y unabhängige, π(λ)-verteilte Zufallsgrößen, d.h. ihre Zähldichte
ist gegeben durch:
P (X = k) = P (Y = k) = e−λ
λk
, k = 0, 1, 2, . . . .
k!
In den Übungen wurde bewiesen, dass (X + Y )π(2λ)−verteilt ist.
Berechnen Sie unter Nutzung dieses Resultats für ein beliebiges, aber festes
n ∈ N die bedingte Verteilung von X unter der Bedingung (X + Y ) = n, d.h.
die bedingten Wahrscheinlichkeiten
P (X = k|X + Y = n),
zuerst für k = 0, 1, 2, . . . , n, dann für k > n, k ∈ N.
Aufgabe 8 (4 Punkte)
Bei der Übermittlung der Zeichen 0 und 1 in einem Kommunikationssystem
wird durch Störungen eine gesendete 0 mit Wahrscheinlichkeit 0, 02 fälschlich
als 1, eine gesendete 1 mit Wahrscheinlichkeit 0, 04 fälschlich als 0 empfangen. Bei einem gesendeten Zeichen liegt mit einer a-priori Wahrscheinlichkeit
von 0, 5 eine 0 vor und mit Wahrscheinlichkeit 0, 5 eine 1.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Empfang einer 1 dieses Zeichen auch gesendet worden ist?
Aufgabe 9 (5 Punkte)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig, identisch verteilt gemäß der Gleichverteilung
U [0, a] über dem Intervall [0, a] für ein a > 0. Die Zufallsgröße Y sei definiert
als
Y = min{X1 , . . . , Xn }.
Berechnen Sie
- die Verteilungsfunktion F von Y ,
- die Dichte f von Y .
Aufgabe 10 (5 Punkte)
Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit
Ω = { 20, 21, 22, . . . , 49}, A = P (Ω),
P ({i}) =
0, 05 , 20 ≤ i ≤ 29
0, 03
30 ≤ i ≤ 39
0, 02
40 ≤ i ≤ 49.
Auf (Ω, A P ) seien die Zufallsgrößen X und Y definiert durch
5 20 ≤ i ≤ 24
X(i) = 10 25 ≤ i ≤ 34,
15 35 ≤ i ≤ 49
Y (i) =
10
5
15
10
20 ≤ i ≤ 23
24 ≤ i ≤ 28
29 ≤ i ≤ 39
40 ≤ i ≤ 49
a) Sind X und Y identisch verteilt, d.h. haben X und Y die gleiche Verteilung?
b) Sind X und Y unabhängig?
c) Berechnen Sie von der gemeinsamen Zähldichte f von (X, Y ) die Werte
f (5, 5), f (5, 10), f (5, 15).
