8. Aufgabenblatt - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
8. Aufgabenblatt zur
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Donnerstag, 30. April 2009, 17.00
Aufgabe 32 Berechnen Sie die Ratenfunktionen I(x) folgender Verteilungen:
(a) Exponentialverteilung zum Parameter α > 0,
(b) Poissonverteilung zum Parameter α > 0 und
(c) Gleichverteilung auf {1, 2, 3}.
Hinweis zu (c): Betrachten Sie die Gleichverteilung auf {−1, 0, 1}.
Aufgabe 33 Sei X1 , X2 , . . . eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsgössen mit
P (Xi = 21 ) = P (Xi = 32 ) = 21 . Zeigen Sie für Sn := X1 + · · · + Xn :
n
1
1
0 < lim n log E ( n Sn ) ,
n→∞
indem Sie den Erwartungswert darstellen als:
E
( n1 Sn )n
Z∞
=
n
a
P ( n1 Sn
Z∞
∈ da) =
0
nan−1 P ( n1 Sn ≥ a) da
0
und P ( n1 Sn ≥ a) nach dem Satz von Cramér approximieren.
Hinweis: Verwenden Sie die Ratenfunktion J(a) = I(a − 12 ), wobei I die Ratenfunktion
des Münzwurfes ist.
Aufgabe 34 (Varadhans Lemma) Sei X1 , X2 , . . . eine Folge unabhängig identisch
mit Verteilung µ verteilter Zufallsgössen derart, dass ein > 0 existiert mit Mµ (λ) < ∞
für alle λ ∈ (−, ). Sei f eine beschränkte stetige Funktion. Zeigen Sie, dass gilt:
lim 1
n→∞ n
log Eenf (Sn /n) = sup [f (x) − I(x)].
x∈
R
Aufgabe 35 Sei {Xn } eine Folge von unabhängigen, standard normalverteilten Zufallsgrössen. Sei Mn := max1≤k≤n Xk . Bestimmen Sie zwei Folgen {an } , {bn } positiver
reeller Zahlen, so dass die Folge an (Mn − bn ) schwach gegen ein nichtdegeneriertes1
Wahrscheinlichkeitsmass konvergiert. Bestimmen Sie diese Grenzverteilung.
1
Nichtdegeneriert = kein Einpunktmass