Probeklausur 4: angewandte Mathematik ohne Didaktik (vierstündig

Probeklausur 4: angewandte Mathematik ohne Didaktik (vierstündig)
Aufgabe 1:
(a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Würfeln von 4 Personen
mindestens 2 die gleiche Augenzahl gewürfelt haben.
(b)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus einem Skatspiel im vierten Zug
eine Dame gezogen wurde, wenn im ersten Zug ein Ass, im zweiten Zug eine Dame
und im dritten Zug ein Bube gezogen wurde. Einmal gezogene Karten werden nicht in
das Skatspiel zurückgelegt.
(c)
Der Student Peter K. hat eine Chance von 5:1 die Klausur zu bestehen. Nach jedem
misslungenen Versuch steigt seine Chance die Klausur zu bestehen um das
Zweieinhalbfache. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter K. auch
nach drei Versuchen die Klausur nicht bestanden hat.
(d)
Der heruntergekommene ehemalige Politiker Görken Heinzelmann hat sich auf
Taschendiebstahl spezialisiert. Leider gelingt ihm nur bei einem von 10 Versuchen der
erfolgreiche Griff in die Tasche. Am vergangenen Freitag hat Görken Mümmelmann
bei 1400 Personen versucht, ihnen in die Tasche zu greifen. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass Görken Mümmelmann bei genau 40 Personen
erfolgreich war.
Aufgabe 2:
(a)
Berechnen und zeichnen Sie bezüglich der City-bloc Metrik ⋅ c mit Hilfe des WardAlgorithmusses für die Vektoren (1,1,0), (1,0,2), (4,3,4), (3,4,3), (5,4,5) (0,1,1)
(5,5,6) und (1,0,0) des » 3 die zugehörige induzierte Hierarchie.
(b)
Berechnen Sie für die Vektorpaare ((1,1,1,1),(4,3,2,1)), ((1,0,0,2),(3,0,4,4)) und
((1,2,3,1),(2,0,2,0)) des » 4 × » 4 den Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
(c)
Berechnen Sie für die Vektorpaare ((1,1,1,1),(0,3,2,3)), ((1,0,0,1),(2,0,0,0)) und
((0,2,3,3),(2,0,2,0)) des » 4 × » 4 die Korrelation.
Aufgabe 3:
(a)
Seien n ≥ 1 eine natürliche Zahl und x = (x1,...,xn), y = (y1,...,yn) beliebige vom
Nullvektor verschiedene Vektoren des » n . Beweisen oder widerlegen Sie folgende
Implikation
x-y ⊥ x ∧ x = y ⇒ x = y.
(b)
Seien n ≥ 1 eine natürliche Zahl und x = (x1,...,xn), y = (y1,...,yn) beliebige vom
Nullvektor verschiedene Vektoren des » n . Beweisen oder widerlegen Sie
x, y = x ⋅ y .
Aufgabe 4:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n ≥ 0, alle reellen
Zahlen a und alle reellen Zahlen q (im Falle von Aufgabe (b) ist q natürlich von 1
verschieden, da man ansonsten durch 0 dividieren würde) die Gültigkeit folgender
Gleichungen:
n
n +1
(a)
(2a+nq).
a + kq =
∑
2
k =0
n
(b)
∑ aq k = a⋅
k =0
q n +1 − 1
.
q −1
Aufgabe 6:
(a)
Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 die Gültigkeit folgender Ungleichung:
n −1
n2
3
.
k <
∑
4
k =1
(b)
Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n ≥ 0 die Gültigkeit folgender Ungleichung:
4n
(2n)!
.
≤
(n !) 2
n +1
Aufgabe 7:
Seien 1 ≤ k ≤ n beliebige natürliche Zahlen. Beweisen oder widerlegen sie :
 n − 1 n 2 + n  n + 1
(a)
=

⋅ 2
.
 k − 1 k + k  k + 1
2
(c)
 n   n2 
  =  2 .
k  k 
.