Blatt 2 - Umwelttechnik (B.Eng.)

Fachhochschule Wiesbaden
Prof. Dr. M. Götz
Ingenieurwissenschaften
Studiengänge Physikalische Technik und Umwelttechnik
Übungsaufgaben Lineare Algebra − Blatt 2
1) Gegeben sind die Vektoren:
 1 
 − 2
1
     
a =  0  , b =  − 2 , c = 1
 − 2
 −1
0
 
 
 
a) Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
a ⋅b =
(a + b ) ⋅ c =
b) Berechnen Sie den von den Vektoren a und b eingeschlossenen Winkel.
c) Berechnen Sie die Projektion von c auf a .
d) Berechnen Sie den Einheitsvektor, der antiparallel zu a verläuft.
e) Berechnen Sie das Vektorprodukt a × b
f) Berechnen Sie das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds
(Spats).
2) Bestimmen Sie x so, dass sich die Diagonalen des von
1
 2
a =   und b =  
1
 x
aufgespannten Parallelogramms im rechten Winkel schneiden.
3) Ein Objekt bewegt sich um 20 m längs der Winkelhalbierenden zwischen der positiven x
und y-Achse. Dabei wirkt eine konstante Kraft F mit dem Betrag 10 N in Richtung der
Raumdiagonalen eines Würfels, dessen Kanten die positiven Koordinatenachsen bilden,
auf den Körper. Berechnen Sie die Arbeit W = F ⋅ s entlang des angegebenen Weges s .
4) Wie groß ist die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten
1
 4
 
 
P1 =  5  m; P2 =  7  m;
9
1
 
 
 0
 
P3 =  1  m ?
 0
 
Lösungen:
1)
d)
 1 
 1   5 

a
1   
e− a = − = −
⋅ 0  =  0 
a
5    2 
 − 2  −
5 

e)
 − 4
 
 5 
 − 2
 
f)
1
a ⋅ b = −2 + 0 + 2 = 0
 −1 1
   
a + b ⋅ c =  − 2  ⋅  1  = −1 − 2 + 0 = −3
 − 3  0
   
a)
(
b)
a ⋅b
cos ϕ =
= 0 ⇒ ϕ = 90°
a ⋅b
c)
 1 
 1   5 

c ⋅a 1   
ca = 2 ⋅ a = ⋅  0  =  0 
5    2
a
 − 2  − 
 5
)
2)
y
b (?)
d2
 3 

d1 = a + b = 
 x − 1
 −1 

d 2 = b − a = 
 x + 1
d1 ⋅ d 2 = x 2 − 4 = 0 ⇒
d1
x
a
3)
Fx = F y = F z
; sx = s y
x = ±2
; s z = 0 m ; F = Fx2 + Fy2 + Fz2 = 3Fx2 = 10 N ⇒ Fx = Fy = Fz = 10 N = 5,774 N
3
 5,774  14,142 

 

20
2
2
2
2
s = s x + s y + s z = 2 s x = 20 m ⇒ s x = s y =
m = 14,142 m ; F ⋅ s =  5,774  N ⋅ 14,142  m = 163,31 J
2
 5,774   0 

 

4)
Diese erhält man mit Hilfe des Vektorprodukts:
1 ⋅ P2 − P1 × P3 − P1 ≈ 30,92 m 2
2
(
P3
P2
 −1
 
P3 − P1 =  − 4  m
 − 9
 
 − 18 − 32 
 − 50 

 2 

P2 − P1 × P3 − P1 =  8 + 27  m =  35  m 2
 − 12 + 2 
 − 10 




(
Wir bezeichnen die Ortsvektoren zu den Punkten
P1 , P2 , P3 . Das Dreieck hat die
Hälfte der Fläche des von den Vektoren P2 − P1
und P3 − P1 aufgespannten Parallelogramms.
P1, P2 und P3 mit
(
)
)
 3 
 
P2 − P1 =  2  m
 − 8
 
P1
(
) (
)
) (
)
(P − P )× (P − P ) =
2
1
3
1
2500 + 1225 + 100 m 2
= 3825 m 2 = 15 ⋅ 17 m 2 ≈ 61,85 m 2