¨Ubungen Mathematik I, Blatt 8

Übungen Mathematik I, Blatt 8
Prof. Dr. L. Eichner∗
Wintersemester 1999/2000
10
Vektoren
10.1
Geben Sie für den Vektor a = (12; 3; 4)T die Länge und den Einsvektor an.
10.2
Berechnen Sie den Winkel α zwischen den Vektoren a = (−2; −3; 6)T und b = (12; 3; 4)T . Geben
Sie α sowohl in Grad als auch im Bogenmaß an.
10.3
Seien a = (1; 2; 0)T , b = (0; 2; 1)T , c = (1; 0; 0)T .
a) Zeigen Sie: Jeder Vektor d = (d1 ; d2 ; d3 )T ist auf genau eine Weise als Linearkombination
von a, b und c darstellbar.
b) Es ist d = (1; 1; 1)T als Linearkombination von a, b und c darzustellen.
10.4
Gegeben sind die Punkte A = (1; 1; 0), B = (3; −4; 5), P = (−1; −2; −3), Q = (−2; −4; −3).
→
→
a) Berechnen Sie die Projektion des Vektors v =P Q auf a =AB als geeignetes Vielfaches von
a.
b) Geben Sie die Projektion an.
c) Berechnen Sie die Länge der Projektion.
10.5
Prüfen Sie rechnerisch, ob die Vektoren orthogonal sind:
a = (−2; 7; −3)T , b = (6; 3; 3)T .
∗ Fachbereich
MNI
1
10.6
Beweisen Sie den Kosinussatz c2 = a2 +b2 −2ab cos γ anhand der dargestellten Vektorbeziehungen:
ursprüngliche Zeichnung in Worten ausgedrückt: normales Dreieck aus den Punkten
→
→
→
A, B und C und mit den Seiten a =CB; b =CA; c =AB
10.7
Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den folgenden Vektoren aufgespannten Parallelogramms
a = (−2; 7; 1)T , b = (−2; 1; −3)T .
10.8
a) Bestimmen Sie das Volumen des Spats, das von den folgenden Vektoren aufgespannt wird:
a = (−1; 0; 1)T , b = (4; 3; −1)T , c = (0; −2; 1)T .
b) Bilden a, b und c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem oder Linkssystem?
10.9
Berechnen Sie den Flächeninhalt des von a = (−400; 20)T und b = (60; −2)T aufgespannten
Parallelogramms. Zeigt b in die linke oder rechte Halbebene bzgl. a?
8. Hausaufgabe. Abgabe bis Mo, 6.12.1999, 11.20 Uhr (in der
Vorlesung oder im Dekanat)
H.14
a) Prüfen Sie rechnerisch auf Orthogonalität: a = (1; 2; 3)T , b = (0; −3; 2)T .
b) Berechnen Sie die Projektion des Vektors a = (−2; 3; 1)T auf b = (3; 6; 2)T . (Die Projektion ist als geeignetes Vielfaches von b anzugeben, und es ist die Länge der Projektion zu
berechnen.)
H.15
a) Bestimmen Sie das Volumen des Spats, das von folgenden Vektoren aufgespannt wird: a =
(2; 1; 0)T , b = (3; 0; 2)T , c = (−1; 1; 2)T . Geben Sie ferner an, ob die Vektoren a, b und c in
dieser Reihenfolge ein Rechtssystem oder Linkssystem bilden?
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des von a = (1000; 20)T und b = (−60; 1)T aufgespannten
Parallelogramms. Zeigt b in die linke oder rechte Halbebene bzgl. a?
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