Mathematik I Übung 5

MST
Mathematik I
Übung 5
Prof.Dr. B.Grabowski
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Tel.: 5867-282
Vektorrechnung im 3-dimensionalen reellen Raum
Aufgabe 1)
a) Beweisen Sie folgende Behauptung:
(λa + µb , c ) = λ (a , c ) + µ (b , c )
b zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen und die Länge 1 besitzen.
Berechnen Sie das folgende Skalarprodukt: (a + 2b ,3a − b ) !
b) Seien a und
c) Seien
 − 1
 
a = 1 ,
 − 1
 
 − 3
 
b = 4 ,
 7 
 
 1 
 
c =  2  3 Vektoren. Berechnen Sie ( a + 2b , a − 3c ) !
 − 8
 
Aufgabe 2)
a) Berechnen Sie die Projektion des Vektors
 − 2
 6
 
 
a =  4  auf den Vektor b =  1  . Zeichnen Sie die 2 Vektoren in ein Koordinatensystem und
 0 
 0
 
 
veranschaulichen Sie sich die Projektion.
b) Welchen Winkel schließt
a mit der x- Achse ein?
Aufgabe 3)
Zeigen Sie, dass die folgenden 3 Vektoren ein rechtwinkliges Dreieck bilden und berechnen Sie alle
Winkel und Seitenlängen, sowie den Flächeninhalt!
 − 1
 − 2
 1 
 
 
 
c = 6 
b = 2 ,
a = 4 ,
1
 3 
 − 2
 
 
 
Aufgabe 4)
a) Berechnen Sie das Volumen des durch folgende 3 Vektoren aufgespannten Spats !
 1 
 − 3
 − 1
 
 
 
c = 2 
b = 4 ,
a = 1 ,
 − 8
 7 
 − 1
 
 
 
Aufgabe 5)
 − 3
 − 2
   
Seien a =  4 , b =  5 
 1 
 11 
 
 
a) Geben Sie einen Vektor an, der senkrecht auf a und
b steht!
1
 
b) Sei c =  λ  ein dritter Vektor. Wie muss λ gewählt werden, damit a , b , c komplanar sind?
 4
 
c) Geben Sie einen weiteren Vektor d an, der zu a und b komplanar, aber nicht parallel zu a , b ,
c ist!
Aufgabe 6)
a , b , c 3 Vektoren mit folgenden Eigenschaften: 1. a || ( b ⊗ c ) und 2. die
Länge von a ist 10 und 3. b steht senkrecht auf c . Untersuchen Sie, ob die Vektoren a + 2b und
a − 3c senkrecht aufeinander stehen oder nicht!
Seien
Aufgabe 7)
Geben Sie 3 Vektoren an, die ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt 10 bilden!
(Mit Begründung!)