Fakultät für Mathematik Prof. Dr. B. Hofmann 9. ¨Ubung: Vektoren II

Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. B. Hofmann
10. November 2014
Höhere Mathematik I (MB)
9. Übung : Vektoren II
9.1 Geben Sie die allgemeine Form eines Vektors x ∈ R3 an, der orthogonal zu
y = (3 − 1 2)⊤ ist.
9.2 Berechnen Sie in V = R5 die orthogonale Projektion von a = (1 0 1 − 1 2)⊤ auf den
von b = (0 2 − 1 − 2 0)⊤ aufgespannten Unterraum.
Berechnen Sie die orthogonale Projektion von b auf span{a} .
9.3 Zerlegen Sie in V = R3 den Vektor a = (1 0 1)⊤ in eine Summe a = a p + a n zweier
orthogonaler Vektoren, wobei einer die Richtung b = (0 2 − 1)⊤ hat.
9.4 Von einem Eckpunkt eines Quadrates werden Geraden zu den Mittelpunkten der
Gegenseiten gezogen. Gesucht ist der Winkel zwischen den beiden Geraden.
9.5 Im dreidimensionalen Raum mit der Standard-Orthonormalbasis {e(1) , e(2) , e(3) } sind
alle Vektoren a = a1 e(1) + a2 e(2) + a3 e(3) (ai ∈ R) gesucht, die folgende Bedingungen
erfüllen.
|a| = 20 ,
(e(1) , a) = 60◦ ,
(e(2) , a) = 45◦
9.6 Im dreidimensionalen Raum sind drei aufeinanderfolgende Eckpunkte
A(1, −2, 3), B(3, 2, 1), C(6, 4, 4) eines Parallelogramms gegeben.
Bestimmen Sie den vierten (auf C folgenden) Eckpunkt D .
9.7 Gesucht ist ein Vektor w ∈ R3 in Richtung der Winkelhalbierenden des von den
linear unabhängigen Vektoren a und b eingeschlossenen Winkels.
9.8 Gesucht ist der Flächeninhalt des von den Vektoren a = (2 − 1 3)⊤ und b = (6 4 2)⊤
aufgespannten Parallelogramms.
9.9 Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten
A(7, 3, 4), B(1, −1, 6) und C(4, 5, −2).
9.10 Konstruieren Sie in Erweiterung von Aufgabe 9.1 eine Orthonormalbasis von R3 ,
wobei ein Basisvektor in span{y} liegen soll.
9.11 Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck mit Vektoren a, b, c ∈ R3 :
(a + b + c) × c + (a + b + c) × b + (b − c) × a.
Aufgaben und Lösungen im Web : http://www.tu-chemnitz.de/∼ustreit