A 5 : Vektorrechnung

Vorkurs Mathematik
Aufgaben zum Kapitel 5
A 5 : Vektorrechnung
A5.2 A, B, C, D, E, F seien die Eckpunkte eines regulären Sechsecks. Man
ermittle (graphisch und/oder rechnerisch) den Summenvektor der
! ! ! ! !
Vektoren AB , AC , AD, AE , AF .
A5.4 Eine Straßenlampe hängt in der Mitte eines über die Straße gespannten
Seils. Beide Hälften des Seils bilden infolge des Durchhangs mit der
Waagerechten einen Winkel von 20° . Das Seil darf im Höchstfall mit
einer Zugkraft von 150N in Seilrichtung belastet werden. Welche
Gewichtskraft darf die Lampe maximal haben? Graphische und
rechnerische Lösung!
A5.5 An einer senkrechten Wand ist ein waagerechter masseloser (!) Tragarm
befestigt, der durch eine ebenfalls masselose Zugstange gesichert ist. Die
Zugstange bildet mit der Wand den Winkel α und darf höchstens mit
einer Zugkraft von 1000N belastet werden (siehe Abb.). Welche
maximale Gewichtskraft eines angehängten Körpers darf den Tragarm am
äußersten Ende belasten, wenn a) α1 = 30° und wenn b) α2 = 60° beträgt?
A5.8 Man bestimme den Winkel, den zwei Raumdiagonalen eines Würfels
miteinander bilden. Räumliche Überlegungsskizze!
!
!
A5.9 Welche Eigenschaften haben die Vektoren a und b , wenn folgende
Beziehungen gelten:
! ! !
(a) a + b = c und a + b = c
! ! ! !
(b) a + b = a ! b
! ! !
(c) a + b = c und a2 + b2 = c2
!
! !
!
(d) a ! b = 0 mit a ! 0 und b ! 0
A5.10 Ein Boot überquere einen Fluß mit der mittleren Eigengeschwindigkeit
!
vom Betrag v B = 2 ms !1 und steuere dabei unter einem Winkel α = 60°
gegen das Ufer stromaufwärts. Der Betrag der mittleren
!
Strömungsgeschwindigkeit des Flusses sei v F = 0,5ms !1 . Welchen Betrag
und welche Richtung hat der Vektor der mittleren resultierenden
!
Geschwindigkeit v R ? Zur Lösung benutze man eine quantitativ korrekte
Zeichnung (evtl. auch den Kosinussatz der ebenen Trigonometrie).
Vorkurs Mathematik
Aufgaben zum Kapitel 5
Vektorwertige Funktionen:
! 1$
" !4 %
!
!
A5.A Gegeben sind die Ortsvektoren r1 ( t1 ) = # 7 & und r2 ( t 2 ) = $ 5 ' sowie
# &
$ '
" 2%
# 3&
das Zeitintervall !t = t 2 " t1 = 0, 4 mit festgelegten Einheiten für Zeit
!
!r
und Ort. Man bestimme den Differenzenquotienten
! Welche
!t
physikalische Bedeutung und welche Einheit hat er?
A5.B Gegeben ist der Ortsvektor einer Bewegung als Funktion der Zeit in
!
Zylinderkoordinaten rZylinder ( t ) = ( !, " t, kt ) mit den Konstanten
!, " , k . Um welche Art von Bewegung handelt es sich? Man
transformiere den Ortsvektor in kartesische Koordinaten und
d !
!
berechne daraus die erste Ableitung nach der Zeit: r" ( t ) = r ( t ) .
dt
Welche physikalische Bedeutung hat diese Zeitableitung?
A5.12 Man zeige, dass die Fläche des von den Diagonalen eines ebenen
Vierecks aufgespannten Parallelogramms doppelt so groß ist wie die
Fläche des Vierecks.
A5.14 Ein Wanderer marschiert
5 km in nordöstlicher Richtung,
dann 3 km nach Osten
und dann 10 km in einer um 20° von der Südrichtung nach Westen
hin abweichenden Richtung.
(a) Welche Strecke muss er noch wandern, um auf direktem Weg zu
seinem Ausgangspunkt zurückzukommen?
(b) Welche Richtung muss er dazu einschlagen?
Hinweis:
Man stelle die Wegstrecken durch Vektoren in einem geeigneten
Koordinatensystem dar.
! 1$
" 3%
! $ '
! # &
A5.15 Man berechne für die Vektoren a = # 2& und b = $ !1' das Skalarprodukt
# &
$ '
" 3%
# 2&
und den Winkel, den die Vektoren im Raum miteinander bilden.
! 1$
" 3%
! $ '
! # &
A5.15b Man berechne die Fläche des von den Vektoren a = # 2& und b = $ !1'
# &
$ '
" 3%
# 2&
aufgespannten Parallelogramms über das Vektorprodukt.