R.Mohr ME1 Blatt4 VektorrechnungII WS2015/16

R. Mohr ME 1 Blatt 4 Vektorrechnung II WS 2015/16
Aufgabe 1: Eine Straßenlampe hängt in der Mitte eines über die Straße gespannten Seiles,
das infolge des Durchhangs einen Winkel von 20o mit der Waagrechten bildet und im
Höchstfall mit 120N belastet werden dar. Wie schwer darf die Lampe höchstens sein?
Aufgabe 2: Ein Spat (Parallelflach) wird aufgespannt von den 3 Vektoren ~a, ~b, ~c mit dem
gemeinsamen Anfangspunkt O und mit | ~a | = 3, |~b| = 5, |~c| = 2; ](~a, ~b) = 120o ,
](~b, ~c) = 60o , ](~c, ~a) = 120o . Bestimmen Sie die folgenden Größen:
a) die Längen der Flächendiagonalen im Parallelogramm (~a, ~b) ;
b) die Länge der von O ausgehenden Raumdiagonalen d~ ;
c) der Winkel zwischen d~ und den Kantenvektoren ~a, ~b, ~c ;
d) die Projektionen von d~ auf ~a, ~b, ~c .
Aufgabe 3: Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit eines 100m breiten Flusses sei 0.4m/sec.
Ein Hund versucht den Fluss zu durchschwimmen. Seine mittlere Eigengeschwindigkeit
beträgt 0.6m/sec .
a) Wie weit wird der Hund bei der Überquerung abgetrieben, wenn er immer senkrecht
zur Strömungsrichtung des Flusses schwimmt?
b) Unter welchem Winkel gegen das Ufer muss der Hund schwimmen, wenn er genau
gegenüber dem Startpunkt das andere Ufer erreichen will?
c) Vergleiche die beiden für die Überquerung benötigte Zeiten!
Aufgabe 4: Bestimmen Sie alle Vektoren ~x in der xy-Ebene, welche die folgende Gleichung
erfüllen:
 
1

2  und b = 5 .
~a · ~x = b
mit ~a =
0
Veranschaulichen Sie das Ergebnis in einer Skizze! Verallgemeinerung!
Aufgabe 5: Gegeben sind die Vektoren ~a und ~b mit | ~a | = 2, | ~b | = 5 und ](~a, ~b) = 45o .
a) Welchen Winkel schließen die Vektoren ~u = ~a − 2~b und ~v = 3~a + 2~b ein?
b) Wie groß ist der Flächeninhalt des von ~u und ~v aufgespannten Dreiecks?
Aufgabe 6: Es seien ~i, ~j, ~k die Einheitsvektoren eines kartesischen Koordinatensystems.
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a) ~i × (~j + ~k) − ~j × (~i + ~k) + (~i + ~j − ~k) × ~k
b) ~i × [~j × (~k × ~i) + (~j × ~k) × ~i + (~j × ~i) × (~j × ~k)]
Aufgabe 7: Gegeben sind die Punkte A(1|1|1), B(2| − 1|3), C(1|2|3). Bestimmen Sie alle
geometrischen daten des Dreiecks.
Aufgabe 8: Welchen Wert hat der Ausdruck: (~a · ~b)2 + (~a × ~b)2 = ?