Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkel zwischen zwei Vektoren
Wolfgang Riemer
In PM 63 S. 36 wird ausgeführt, wie man mit dem Satz des
Pythagoras das Skalarprodukt als Antwort auf die Frage
nach der Orthogonalität von Vektoren „erfinden“ kann.
Wenn man die Idee weiter denkt, lässt sich hiermit auch der
Winkel zwischen Vektoren exakt berechnen und man erhält
einen vektoriellen Beweis des Kosinussatzes.
r
Erinnerung: Die Formel für die Länge eines Vektors w == w1 ² + w1 ² + w1 ²
r r r
liefert nach dem Satz des Pythagoras gemäß obiger Abbildung mit u = z + w
r r
r
r
r
r
r r
r
w ⊥ z ⇔ u ² = z ² + w² ⇔ z + w² = z ² + w² ⇔
r r
( z1 + w1 )² + ... + ( z3 + w3 )² = z1 ² + ... + z3 ² + w1 ² + ... + w3 ² ⇔ z1w1 + ... + z3 w3 = 0 ⇔ z * w = 0
Weil die Produktsumme so nützlich ist bekommt sie einen Namen: „Skalarprodukt“. Die Kopiervorlage zeigt, wie man damit den Winkel zwischen Vektoren berechnet und den Kosinussatz begründet.
Kopiervorlage:
r r
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren α = ∠(u , v ) berechnen zu können, braucht man ein recht-
r
winkliges Dreieck. Man verkürzt also den Vektor v durch Multiplikation mit einem Skalar λ
r
r
r
r
( z = λv ) so, dass zwischen z und w ein rechter Winkel entsteht: Gesucht ist also die Zahl λ, für die
r r
gilt v ┴ w . Man erhält sie wie folgt:
r r
r r
r r
r
r r
r
u *v
v ⊥ w ⇔ v * (u − λ ⋅ v ) = 0 ⇔ v * u − λ ⋅ v ² = 0 ⇔ λ = r . Nun gilt im rechtwinkligen Dreieck
v²
r
r
r
r r
r r
z
v u *v v
u *v
r r
cos(α ) = r = λ r = r r = r r (*) und damit kann man α = ∠(u , v ) berechnen.
u
u
v² u
u⋅v
Aufgaben:
r  4
r 8
a) Zeichne u =   und v =   in ein ebenes Koordinatensystem. Kontrolliere mithilfe des Ska8
1
r
r
r
larproduktes und der Zeichnung, dass keine der Differenzen u − λ ⋅ v für λ=0,6/0,7/0,8 auf v orthor r
r
gonal steht. Berechne dann λ so, dass gilt v ┴ (u − λ ⋅ v ) . Zeichne das zugehörige rechtwinklige Dreir r
eck und bestimme den Winkel α = ∠(u , v ) mithilfe des Kosinus. Kontrolliere an der Zeichnung.
b) Kontroliere die Gültigkeit von (*) für Vektoren im Raum, indem du die Winkel berechnest, die die
Körperdiagonale eines Würfels mit den zugehörigen Seitendiagonalen einschließt.
r r
r r
r r
r
r
r r
r
r
r r rr
c) Die Gleichung u − v ² = (u − v ) * (u − v ) = u ² + v ² − 2(u * v ) = u ² + v ² − 2 cos < (u , v ) u v
trägt den Namen „Kosinussatz“. Deute sie geometrisch an einem selbst gewählten Beispiel – und begründe, dass sie den Satz des Pythagoras als Spezialfall enthält.
Dr. Wolfgang Riemer, Zfsl Köln, [email protected]