Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik II
Blatt 1
11.04.2005
SS 2005
für Wirtschaftswissenschaftler
Dr. J. Drehmann
1) Welchen Winkel müssen zwei Vektoren vom gleichen Betrag einschließen, wenn auch ihr
a) Summenvektor bzw. b) Differenzvektor
den gleichen Betrag haben soll?
2) Bestimmen Sie den Betrag der Vektoren a und b und den Winkel zwischen ihnen:
a) a := (1, 2, 3),
b := (4, 5, 6), b) a := (1, 1),
b := (−1, 1).
Bestimmen Sie außerdem jeweils einen Vektor, der zu a und b orthogonal ist.
3) Gegeben sind die Vektoren a und b mit | a | = 2, | b | = 5 und <) (a, b) = 45o .
a) Welchen Winkel schließen die Vektoren u = a − 2b und v = 3a + 2b ein?
b) Wie groß ist der Flächeninhalt des von u und v aufgespannten Dreiecks?
4) Bestimmen Sie
a) den Flächeninhalt des Parallelograms, das von den Vektoren a := (1, 2, 3),
b :=
(4, 5, 6) aufgespannt wird.
b) das Volumen des Spats, der von den Vektoren a := (1, −2, 4),
b := (−1, 1, 1),
c :=
(1, 1, 1) aufgespannt wird.
5) Was folgt für die Vektoren a und b aus den folgenden Aussagen?
a) a × b = 0 und a · b = 0.
b) | a × b | = a · b .
c) (a · b )2 = (a · a) (b · b) .
6) Gegeben seien die Vektoren p und q mit p·q 6= 0. Der beliebige Vektor a soll so als Summe
a1 + a2 dargestellt werden, dass a1 parallel zu p und a2 senkrecht zu q ist. Ist eine solche
Darstellung immer eindeutig? Man drücke a1 und a2 durch p, q und a aus.
1 2
x und x2 + (y − 4)2 = 16 begrenzte
4
Hinweis: Kreisfläche = πr2 . +
7) Bestimmen Sie die von den beiden Kurven y =
Fläche. (Skizze; zwei Fälle sind möglich).
8) Berechnen Sie das bestimmte Integral
a)
Z2
0
3
2
|x − 3x − x + 3| dx ,
b)
Z6
|x3 − 9x2 + 18x| dx .
0
Welche Fläche hat man damit jeweils berechnet?