1. Dreieck 2. Dreiecksungleichung 3. Vektorprodukt
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Dr. A. Blazhev
Prof. Dr. A. Schadschneider
3. Übungsblatt zum Vorkurs Physik
Sommersemester 2009
Internetseite:
www.thp.uni-koeln.de/∼as/vorkurs09.html
1. Dreieck
µ
Ein Dreieck sei durch zwei seiner Seitenvektoren
~a =
7
1
B ist die Orthonormalbasis {~e1 , ~e2 }.
¶
µ
und ~b =
B
−6
9/2
¶
gegeben.
B
a) Wie lang sind die drei Seiten?
b) Wie groß sind die Drei Winkel?
c) Wie lang ist die Höhe hb ?
2. Dreiecksungleichung
Für Vektoren ~a und ~b eines euklidischen Vektorraums gilt die Dreiecksungleichung
|~a + ~b| ≤ |~a| + |~b| .
a) Warum heisst dieser Ungleichung Dreiecksungleichung?
b) Wann gilt Gleichheit?
c) Beweisen Sie die Ungleichung. (Hinweis: beide Seiten quadrieren.)
3. Vektorprodukt
a) Gegeben seien drei Vektoren wie in Zeichnung unten; ~a und ~b liegen in in der Zeichenebene,
~c zeigt aus ihr heraus. Alle Winkel sind rechte, die Längen der drei Vektoren sind 1. Ermitteln
Sie das Ergebnis der folgenden Vektorausdrücke:
i) ~a × ~b
ii) ~b × ~a
b) Gegeben seien
iii) ~c × ~a iv) ~c × ~c v) ~c × (~b + ~a)
0
2
und ~q = −1
p~ = 1
3
0 B
B
vi) (~a − ~b) × (~c + ~a)
bezüglich einer rechtshändigen Orthonormalbasis B. Bestimmen Sie p~ × ~q, ~q × p~ und h~
p, p~ × ~qi.
Wie groß ist die Fläche eines von p~ und ~q aufgespanntes Parallelograms?
c) Zwei Vektoren der Längen 2 und 3 schließen den Winkel π6 (= 30◦ ) ein. Wie lang ist ihr
Vektorprodukt?
d) Beweisen oder widerlegen Sie: Für beliebige Vektoren ~a, ~b und ~c gilt:
~a × (~b × ~c) = (~a × ~b) × ~c
