1. Rechnen in Komponenten 2. Komponenten 3. Skalarprodukte 4

Dr. A. Blazhev
Prof. Dr. A. Schadschneider
2. Übungsblatt zum Vorkurs Physik
Sommersemester 2009
Internetseite:
www.thp.uni-koeln.de/∼as/vorkurs09.html
1. Rechnen in Komponenten
Bezüglich einer Basis B seien Vektoren ~a und ~b gegeben durch
 


1
−1
~a =  0  , ~b =  2 
2 B
1
B
a) Berechnen Sie ~a + 3~b, 3(~a + ~b) und 2~a − ~b in Komponentendarstellung bezglich B.
b) Die Vektoren der Basis B seien ~e1 , ~e2 und ~e3 . Wie lauten ~a und ~b in Linearkombinationen der
Basisvektoren?
c) Wie lautet ~c = −3~e3 + 7~e2 in Komponentendarstellung bzgl. B?
2. Komponenten
Gegeben sei eine Orthonormalbasis B = {~e1 , ~e2 , ~e3 } eines euklidischen Vektorraums V .
a) Wie lauten die Basisvektoren ~e1 , ~e2 und ~e3 in Komponentendarstellung bzgl. B?
b) Zeigen Sie, dass die Komponenten eines Vektors ~a ∈ V bzgl. B durch ~a = h~ei , ~ai bestimmt
sind (i = 1, 2, 3).
3. Skalarprodukte
a) Sei B eine Orthonormalbasis eines dreidimensionalen euklidischen
Sie alle Skalarprodukte zwischen den Vektoren





1
−2
~a =  0 
, ~b =  1 
und ~c = 
−1 B
1
B
Vektorraums. Berechnen

1
1 
1 B
b) Berechnen Sie die Länge der Vektoren aus Teil a) und die Winkel zwischen ihnen.
c) Zwei Vektoren der Länge 2 schließen den Winkel 60◦ ein. Berechnen Sie ihr Skalarprodukt?
4. Skalarprodukte und Geometrie
a) Zeigen Sie, dass
h~a + ~b, ~a − ~bi = |~a|2 − |~b|2 .
Geometrische Bedeutung in Falle |~a| = |~b|?
b) Für orthogonale Vektoren ~a und ~b zeigen Sie, dass
|~a − ~b|2 = |~a|2 + |~b|2 .
Welche Geometrische Bedeutung hat diese Beziehung?