Fakultät für Mathematik Dr. U. Streit 9. ¨Ubung: Vektoren II

Fakultät für Mathematik
Dr. U. Streit
9. November 2012
Höhere Mathematik I (MB)
9. Übung : Vektoren II
9.1 Geben Sie die allgemeine Form eines Vektors x ∈ R3 an, der orthogonal zu
y = [3, −1, 2]⊤ ist.
9.2 Berechnen Sie in R5 die orthogonale Projektion a p von a = [1, 0, 1, −1, 2]⊤ auf den
von b = [0, 2, −1, −2, 0]⊤ aufgespannten Unterraum.
Berechnen Sie die orthogonale Projektion b p von b auf span{a} .
9.3 Zerlegen Sie in R3 den Vektor a = [1, 0, 1]⊤ in eine Summe a = a p + a n zweier
orthogonaler Vektoren, wobei einer die Richtung b = [0, 2, −1]⊤ hat.
9.4 Von einem Eckpunkt eines Quadrates werden Geraden zu den Mittelpunkten der
Gegenseiten gezogen. Gesucht ist der Winkel zwischen den beiden Geraden.
9.5 Im dreidimensionalen Raum mit der Standard-Orthonormalbasis {e(1) , e(2) , e(3) } sind
alle Vektoren a = a1 e(1) + a2 e(2) + a3 e(3) (ai ∈ R) gesucht, die folgende Bedingungen
gleichzeitig erfüllen.
|a| = 20 ,
(e(1) , a) = 60◦ ,
(e(2) , a) = 45◦
9.6 Im dreidimensionalen Raum sind drei aufeinanderfolgende Eckpunkte
A(1, −2, 3), B(3, 2, 1), C(6, 4, 4) eines Parallelogramms gegeben. Bestimmen Sie den
vierten (auf C folgenden) Eckpunkt D .
9.7 Im dreidimensionalen Raum ist ein Vektor w gesucht, der die Richtung der
Winkelhalbierenden des von den linear unabhängigen Vektoren a und b
eingeschlossenen Winkels angibt.
9.8 Gesucht ist der Flächeninhalt des von den Vektoren a = [2, −1, 3]⊤ und b = [6, 4, 2]⊤
aufgespannten Parallelogramms.
9.9 Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten
A(7, 3, 4), B(1, −1, 6) und C(4, 5, −2).
9.10 Finden Sie in Erweiterung von Aufgabe 9.1 eine Orthonormalbasis von R3 , wobei ein
Basisvektor in span{y} liegen soll.
9.11 Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck mit Vektoren a, b, c ∈ R3 :
(a + b + c) × c + (a + b + c) × b + (b − c) × a.
Aufgaben und Lösungen im Web : http://www.tu-chemnitz.de/∼ustreit