Aufgaben

BSZ für Bau- und Oberflächentechnik des Landkreises Zwickau
Außenstelle Limbach-Oberfrohna
´Günther
Vorbereitung 1. Klausur LK 13.I
Ohne Hilfsmittel
1.
 2 
 1
 3 


 
 
Gegeben sind die Vektoren a   10  , b   4  und c   0  und der Punkt
 11 
8
 1


 
 
P  1,5
0
0,5 
1.1
Bestimmen Sie die Länge des Vektors a
1.2
Berechnen Sie die Länge des Vektors d  b  c
1.3
Berechnen Sie a  b
1.4
Berechnen Sie a  c
1.5
Begründen Sie, dass der von den Vektoren a und b aufgespannte Winkel
zwischen 60° und 90° liegt.
1.6
Berechnen Sie das Volumen des durch die Vektoren a , b und c
aufgespannten Spats.
1.7
Beschreiben Sie die besondere Lage der Gerade mit dem Einsprungpunkt
P und dem Richtungsvektor c im Koordinatensystem.
2.
In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem sind die
4
0,5  und
Punkte A  1 3 1 , B  4 2 1  , C  8
D 2
6
 4,5  gegeben.
2.1
Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck ABCD ein gleichschenkliges
Trapez ist.
2.3
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes.
2.4
Zeigen Sie, dass der Punkt P 
 11
 4
13
4

7
 nur auf einer der beiden
8
Diagonalen des Trapezes liegt.
2.5
Berechnen Sie die den Schnittpunkt der beiden Diagonalen.
3.
In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem sind die
Vektoren
1
4
 t  2
 


 
OA  a   3  ; OB  b   2  und OC  c t   2  gegeben.
 1
 1 
 1
 


 
3.1
Bestimmen Sie alle t  R für die die Vektoren a, b und c t eine Basis des
R³ bilden (als Achsen eines Koordinatensystems geeignet sind).
3.2
 4
 
Stellen Sie den Vektor v   6  als Linearkombination der Vektoren a, b
3
 
und c0 (d.h. für t=0) dar.
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Mit Hilfsmitteln
4.

w
E
D  3 2 0  und G  6 2 5 
 

Die Vektoren u , v und w verbinden
4.2
5.
D
Ermitteln Sie die Oberfläche und den
 

Rauminhalt der von u , v und w
aufgespannten Doppelpyramide
(Oktaeder).
B
Zeichnen Sie das Oktaeder in ein
geeignetes dreidimensionales
Koordinatensystem.
S
Gegeben sei das Dreieck ABC mit
A  6 4 2 ; B  3 7 2 und
K
L
J
Berechnen Sie den Mittelpunkt des
Inkreises im Dreieck ABC
In der nebenstehenden Abbildung ist
ein symmetrischer Kirchturm zu sehen
(Maße in Meter).
Es sei bekannt, dass M1 und M2 die
Mittelpunkte der Strecken CD und
GH sind. Weiterhin gilt 3  M2J  M1M2
I
H
F
G
(Hinweise: Der Punkt E befindet sich
senkrecht über A in der Fläche EFGH
und wird in der Skizze von der
Dachfläche verdeckt.)
Die grau dargestellte Dachfläche
besteht aus vier kongruenten
Parallelogrammen.
6.1
C

u
A
C  3 4 1 .
6.
F

v
jeweils die Mittelpunkte zweier
Würfelflächen miteinander. (siehe
Skizze; nicht maßstäblich)
4.1
G
H
Gegeben ist der Würfel ABCDEFGH mit
A 1 1 0  ; B  2 5 0  ;
30
z
A
12 x
Bestimmen Sie die Höhe des Turms.
Durch in Richtung des Vektors
 3 


u   2  einfallendes Sonnenlicht
 5


y
B
12
D
C
wirft die Kirchturmspitze S einen Schatten in die waagrechte x-y-Ebene.
Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Schattenpunktes S‘.
6.2
Im Umkreismittelpunkt des Giebeldreiecks GHJ soll eine Turmuhr befestigt
werden. Berechnen Sie in welcher Höhe über der
x-y-Ebene die Uhr aufgehängt werden muss.
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´Günther
Vorbereitung 1. Klausur LK 13.I
6.3
Ermitteln Sie die Winkel  
mit dem Scheitelpunkt S
IGJ mit dem Scheitelpunkt G und  
6.4
Für die Dachdeckung veranschlagt ein Dachdecker 75 €/m² inklusive einer
Mehrwertsteuer von 19 %. Berechnen Sie den Nettopreis der für die
Dachdeckung aufgewendet werden muss.
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JSL