Analysis 3 (WS 2016/17) — Vortragsübung 7

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Dr. James Kennedy, Dipl.-Math. Bartosch Ruszkowski
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Datum: 15. Dezember 2016
Analysis 3 (WS 2016/17) — Vortragsübung 7
Ich hörte mich anklagen, als sei ich ein Widersacher, ein Feind der Mathematik überhaupt,
die doch niemand höher schätzen kann als ich, da sie gerade das leistet,
was mir zu bewirken völlig versagt worden.
— Johann Wolfgang von Goethe (1749–1832)
Diese Aufgaben dienen der Vorbereitung auf die Scheinklausur am 17.12.2016, Ihnen wird empfohlen,
sie selbst zu bearbeiten. Dabei handelt es sich hauptsächlich um Rechenaufgaben: Die Definitionen
und Sätze aus der Vorlesung sind klausurrelevant, natürlich können auch Beweisaufgaben vorkommen.
Die Lösungen einer repräsentativen Auswahl dieser Aufgaben werden in der Vortragsübung am
15.12.2016 besprochen.
V7.1. Sei M := {(x, y, z) ∈ R3 : zex = 2 + x + sin(y − z)}.
(a) Zeigen Sie, dass M eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 ist.
(b) Zeigen Sie, dass sich M in einer Umgebung von (0, 2, 2) darstellen lässt als Graph einer
Funktion x = f (y, z).
(c) Bestimmen Sie den Tangentialraum von M im Punkt (0, 2, 2).
Falls Sie dieses Thema nochmals mit anderen Zahlen üben wollen: Wiederholen Sie diese Aufgabe mit M = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 y 3 z 2 + cos(πx) = 3} und dem Punkt (1, 1, 2).
V7.2. Bestimmen Sie das Maximum und Minimum der Funktion f : R3 → R,
f (x, y, z) = x2 + y + z,
auf der Einheitssphäre
S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}.
Falls Sie dieses Thema nochmals mit anderen Zahlen üben wollen: Wiederholen Sie diese Aufgabe mit f (x, y) = x2 − 2xy + y 3 /3 auf der Menge M = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 2 und |y| ≤ 2}.
V7.3. Berechnen Sie
Z
f dV,
Ω
wobei
(a) f : R2 → R, f (x, y) = x + y 2 , und Ω das Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und
(0, 1) ist;
(b) Ω ⊂ R2 das Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und (1, 1) ist und f : Ω → R durch
f (x, y) = sin(x)/x gegeben ist.
Prof. Dr. Marcel Griesemer
Dr. James Kennedy, Dipl.-Math. Bartosch Ruszkowski
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Datum: 15. Dezember 2016
V7.4. Berechnen Sie den Inhalt des Kegelstücks
M := {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥
p
x2 + y 2 und z ≤ 2}
sowie den Flächeninhalt von ∂M .
Für mehr Übung: Berechnen Sie den Flächeninhalt von
M := {(x, y, z) ∈ R3 : z = xy und x2 + y 2 < 1, x > 0, y > 0}.
V7.5. Berechnen Sie das Integral
Z
x2 + y 2 dS,
M
wobei M := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = R2 und z > 0} die obere Halbsphäre um den
Ursprung mit gegebenem Radius R > 0 ist.
V7.6. Seien M1 , M2 zwei d-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des Rn (1 ≤ d ≤ n). Beweisen oder
widerlegen Sie:
(a) Die Vereinigung M1 ∪ M2 ist wieder eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn .
(b) Der Schnitt M1 ∩ M2 ist eine d0 -dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn für ein 0 ≤
d0 ≤ d.