Höhere Mathematik 3 Bitte beachten Sie: Dieses Übungsblatt

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Dr. F. Gaspoz,
Dr. T. Jentsch,
Dr. A. Langer,
J. Neusser, J. Schmid
4. Gruppenübung zur Vorlesung
Höhere Mathematik 3
Apl. Prof. Dr. N. Knarr
Wintersemester 2015/2016
Bitte beachten Sie: Dieses Übungsblatt beinhaltet eine Hausaufgabe,
die zur Erbringung der Prüfungsvorleistung zu bearbeiten ist.
Präsenzübungen
Aufgabe P 11.
Sei
{
Z := (x, y, z) ∈ R3
}
(x − 1)2 (y − 2)2 (z − 3)2
+
+
≤1 .
4
9
25
Berechnen Sie das Volumen von Z.
Hinweis: Verwenden sie dazu den allgemeinen Ansatz für verschobene Kugelkoordinaten:
x = ax r cos φ sin ϑ + bx
y = ay r sin φ sin ϑ + by
z = az r cos ϑ + bz
Bestimmen sie dazu geeignete Werte fà 41 r ax , ay , az , bx , by , bz .
Aufgabe P 12.
Es sei
S := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + (z + 1)2 = 2, z ≥ 0} .
Berechnen Sie für das Vektorfeld g : R3 → R3 mit
g(x, y, z) := (z − 1, x, y)
jeweils die Integrale
∫
∫∫
g(s) · ds und
∂S
rot g · n dO
S
aus dem Satz von Stokes.
Aufgabe P 13.
Für zwei positive reelle Zahlen a und b sei
Z := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ a2 , −b ≤ z ≤ b, x, y ≥ 0} .
Berechnen Sie für das Vektorfeld g : R3 → R3 mit
g(x, y, z) := (xz 2 , yz 2 , z 2 )
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Knarr-WS1516/
4. Gruppenübung
Höhere Mathematik 3
jeweils die Integrale
∫∫∫
∫∫
div g dx dy dz
g · n dO
und
Z
∂Z
aus dem Satz von Gauß.
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 1.
Wir betrachten im R3 die Mengen
{
}
Z := (x, y, z) ∈ R3 | (x − 2)2 + y 2 ≤ 4 ,
z x
{
}
E1 :=
(x, y, z) ∈ R3 − ≤ 1 ,
5 4
}
{
y
3 4z
E2 :=
(x, y, z) ∈ R − ≥1 ,
5
2
und bilden mit diesen die Menge
M := Z ∩ E1 ∩ E2 .
(a) Bestimmen Sie das Volumen von M und den Flächeninhalt von ∂M durch Integration.
(b) Berechnen Sie den Ausfluss des Vektorfelds f : R3 → R3 mit
(
)
f (x, y, z) = yz + yx, y 2 + zx2 , x3 y − 2yz
durch ∂M .
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Knarr-WS1516/
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