MatheIWS2013- Assignment 4 - KIT

Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Dr. Daniel Weiß • Dipl.-Math. oec. Marcel Mikl • Dipl.-Biol. Michael Kreim
mündliche Aufgabe M5
Sei
(Komplexe Zahlen)
2 Punkte
M1 := {z ∈ C : 1 < |z + 3i| ≤ 2}
Mathematik I für die Fachrichtung
Informationswirtschaft
Übungsblatt 4
Skizzieren Sie M1 ∪ M2 und M1 ∩ M2 .
Wintersemester 2013/2014
Hausübung H7
(Komplexe Zahlen)
6+2+2 Punkte
(a) Skizzieren Sie folgende Teilmengen der komplexen Zahlen:
(i) M1 = {z ∈ C : − π ≤
z−z
i
Gruppenübung T5
(iii) M3 = {z ∈ C : z 4 = −625} .
(b) Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 3 + 2i und z2 =
(i) z1 − z2
(iii) z2
(ii) z1 z2
(iv) |z1 |
1
1+i .
Berechnen Sie:
(ii) z4 = (1 +
3
3i) .
Hausübung H8
(Ungleichungen)
Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen.
5+3+2 Punkte
(a) Skizzieren Sie folgende Teilmenge der komplexen Zahlen:
(i) z1 + z2 ,
(ii) z1 − z2 ,
(iii) z1 z2 ,
(iv) zz21 ,
(v)
(a) Für x ∈ R gilt:
x2 + 2
2≤ √
.
x2 + 1
(Komplexe Zahlen)
(b) Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 + 2i und z2 = 3 + 4i. Berechnen Sie
die folgenden Zahlen, und zeichnen Sie die berechneten Punkte, sowie z1 und z2 in
das Koordinatensystem der komplexen Ebene:
,
√
1
z1 ,
(vi) z1 ,
(vii) |z2 |,
(viii) Re z1 ,
(ix) Im z2 .
(c) Berechnen Sie folgende Spezialfälle binomischer Formeln für komplexe Zahlen:
(i) (a + bi)2 ,
(iii) (a + bi)(a − bi).
2
(ii) (a − bi) ,
(b) Für x, y > 0 gilt:
1
x
2
+
2 Punkte
M1 = {z ∈ C : |z| > 3}.
(c) Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in Polarkoordinaten dar:
2
1+i
mündliche Aufgabe M6 (Ungleichungen)
Zeigen Sie, dass für a, b, c, d ∈ R mit a, b, c, d > 0 gilt:
p
√
√
(a + c)(b + d) ≥ ab + cd.
≤ 2π} ,
z+3
(ii) M2 = {z ∈ C : | z−3
| ≤ 1} ,
(i) z3 =
M2 := {z ∈ C : |z − 2 + i| ≤ 3} .
1
y
≤
√
x·y ≤
x+y
.
2
(c) Für a, b, c ≥ 0 gilt:
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
(d) Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in Polarkoordinaten dar:
(i) 3 + 3i,
(iii) −1,
(ii) 1 − i,
(iv) i.
Gruppenübung T6
(Ungleichungen)
Zeigen Sie, dass für a, b ∈ R mit a, b > 0 gilt:
a
b
+ ≥ 2.
b
a
Gruppenübung T7
(Summen)
Berechnen Sie die folgenden Summen und Produkte
(a)
(b)
(c)
P9
k=7 (k − 2)
P2 P2
1 + k=0 l=1 k · l
P2 P3
2
k=0
l=1 j(3k + l)
(d)
Q3
(e)
Q3
(f)
k=1
k
P1
k
i=1
k=0 i
Q17
√ j
j) )!
j=18 ((j −
Werfen Sie Ihre Lösungen bis zum Montag, den 18. November 2013, 11:00 Uhr in
den mit ”‘Mathematik I für die Fachrichtung Informationswirtschaft”’ gekennzeichneten
grünen Abgabekasten im 1. OG des C-Teils des Allianz-Gebäudes ein oder geben Sie
Ihre Lösungen direkt vor der Übung ab. Schreiben Sie bitte auf jedes Ihrer Blätter Ihren
Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Tutoriumsnummer.
Webseite: http://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/math1infowirt2013w/