Präsenzübungen zur Vorlesung “Quantenmechanik II”

Erlangen den 4. Dezember 2008
Präsenzübungen zur Vorlesung “Quantenmechanik II”
Übung VK1:
Gegeben ein N -Bosonen-System in einer Raumdimension mit dem HamiltonoperaPN p̂2n
tor Ĥ =
. Der Grundzustand in der Näherung unabhängiger Teilchen
n=1 2m
R
Q
lautet Φ(x1 , ..., xN ) = N
ϕ(x
)
,
wobei
dx |ϕ(x)|2 = 1. Drücken Sie den Ern
n=1
wartungswert der Energie hΦ|Ĥ|Φi durch Einteilchenmatrixelemente aus.
Übung VK2:
Gegeben ein 2-Niveau-System mit dem Hamiltonoperator Ĥ ≡ ωHij , wobei H11 =
H22 = 1, H12 = H21 = 0. Das System befindet sich im zeitabhängigen Zustand
|Ψ(t)i = c1 (t) |1i + c2 (t) |2i. Berechnen Sie die Zeitentwicklung der Komponenten
c1 (t) und c2 (t) für die Anfangsbedingung c1 (0) = 1 und c2 (0) = 0 und geben Sie die
Besetzungswahrscheinlichkeit für das untere Niveau (unteres Niveau =|1i)
ˆ
an.
Übung VK3:
Gegeben sei ein 2-Niveau-System mit dem Hamiltonoperator Ĥ =
ε
2
a†2 a2
−
a†1 a1
.
a†2 a1 |0i,
Das System sei in dem angeregten normierten Zustand |21i =
wobei der
†
Grundzustand durch |0i = a1 |vaci gegeben ist. Berechnen Sie h21|Ĥ|21i.
Übung VK4: Wir betrachten ein Ensemble von N Spin- 12 -Teilchen. Der Operator des Gesamtspins ist Ŝ =
PN
n=1
(i)
(j)
ŝ(n) , wobei für die Spins die Algebra [ŝα , ŝβ ] =
(i)
iαβγ ŝγ δij gilt. Berechnen Sie [Ŝ+ , Ŝ− ], wobei Ŝ± = Ŝx ± iŜy .
Übung VK5: Gegeben sei der Zustand |Ψi = A exp(câα â†α ) |vaci mit den Fermionenoperatoren âα und â†α . Berechnen Sie den Normierungsfaktor A und den
P
Erwartungswert hΨ|N̂ |Ψi des Teilchenzahloperators N̂ = â†α âα.
α
Übung VK6:
P
Gegeben ein Einteilchenoperator Â = αβ Aαβ b̂†α b̂β und der Hamiltonoperator in
P
Diagonalform als Ĥ = α εα b̂†α b̂α , wobei b̂†α und b̂α Bosonenoperatoren sind. Berechnen Sie [Ĥ, Â].
Übung VK7: Gegeben
ein quantenmechanisches Teilchen in einer Dimension
R
L
mit der Energie E = − 0 dx b ϕ4 (x). Bestimmen Sie durch Variation die Lösung
RL
für ϕ(x) mit der Normierung 0 dxϕ2 (x) = 1. Die Funktion ϕ(x) soll als reellwertig
angenommen werden.
Übung VK8:
Gegeben sind die Ein-Teilchen-Wellenfunktionen als ebene Wellen in Spinornotation
ϕkµ (r) = (2π)−3/2 exp(ik · r)χµ . Eine Laseranregung wird durch den lokalen Einteilchenoperator Â = E0 cos(qz) beschrieben. Berechnen Sie die Matrixelemente des
Anregungsoperators (kµ|Â|k0 µ0 ).
Übung VK9: Zwei Fermionen befinden sich im Zustand Φ(x1 , x2 ) = Φ(r1 σ1 , r2 σ2 ) =
A {ϕn1 (r1 )δσ1 µ1 ϕn2 (r2 )δσ2 µ2 }, der durch die kombinierten Quantenzahlen (ni µi ) charakterisiert ist. Berechnen Sie den Erwartungswert eines Kontaktpotentials
R
P
V = V0 σ1 σ2 d3 r Φ∗ (rσ1 , rσ2 )Φ(rσ1 , rσ2 ) für die räumlichen Wellenfunktionen
ϕn1 (r1 ) = (2c1 /π)3/4 exp (−c1 r21 ) und ϕn2 (r2 ) = (2c2 /π)3/4 exp (−c2 r22 ).
Übung VK10:
Gegeben zwei 1TL-Anregungen, |nii = â†n âi |0i und |mji = â†m âj |0i über dem N Fermionengrundzustand |0i (also n, m > N und i, j ≤ N ). Berechnen Sie den Überlapp hni|mji mit den Mitteln der Fermionenalgebra.
Z
∞
Hilfe:
ikx
dx e
−∞
Z
∞
= 2πδ(k) ,
−αx2
dx e
−∞
r
=
π
α
.