Quantenmechanik II Serie 5.

Quantenmechanik II
Serie 5.
FS 2017
Prof. Thomas Gehrmann
Ausgabe: 20. März 2017
http://www.physik.uzh.ch/de/lehre/PHY351/FS2017.html
Übung 1.
[Dynamik des quantisierten Strahlungsfeldes]
~ H (~x, t) gilt
Zeigen Sie, dass für den Photon-Operator im Heisenberg-Bild A
i
h
~ H (~x, t), H ,
~ H (~x, t) = A
i ~∂t A
(1)
indem sie beide Seiten explizit auswerten und vergleichen.
Zur Erinnerung: Der Feldoperator im Schrödinger-Bild ist (in SI-Einheiten) gegeben durch
s
X Z d3 k
~
i ~k·~
x
~
~ x) =
A(~
~
e
a
(
k)
e
+
h.c.
.
α α
(2π)3
2 ω~k V 0
α
und der zugehörige Hamiltonian des Strahlungsfeldes ist
h
i
X Z d3 k
† ~0
† ~
~
~
H=
~ω
a
(
k)a
(
k),
a
(
k),
a
(
k
)
= (2π)3 δαα0 δ 3 (~k − ~k 0 ),
k α
α
α0
α
3
(2π)
α
Übung 2.
ω~k = c · k .
[Elektronische Anregung des H-Atoms im klassischen Strahlungsfeld]
~
Ein Wasserstoffatom befindet sich in einem zeitabhängigen homogenen E-Feld,
gegeben durch
1
Aτ
~
~ez ,
E(t)
=
2
e π t + τ2
A, τ konstant.
(2)
Geben Sie den Wechselwirkungsoperator HW an. Der elektronische Zustand des Atoms sei zur
Zeit t = −∞ im Grundzustand 1s. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit zur Zeit t = +∞
einen beliebigen 2p-Zustand vorzufinden gegeben ist durch
P1s→2p ≈ 0.55
A a0
~
2
e−2 ω τ ,
wobei a0 Bohr-Radius und ~ω = ∆E Übergangsenergie ist.
Tipps: Das Atom koppelt an das elektrische Feld mittels seines Dipolmoments. Benutzen Sie
zeitabhängige Störungstheorie um die Übergangswahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Das resultierende Zeitintegral kann mit Hilfe des Residuensatzes gelöst werden. Für die quantenmechanischen Matrixelemente benötigen Sie die elektronischen Wellenfunktionen des H-Atoms:
s
ψ100 =
1 − ar
e 0,
πa30
r
ψ210 =
3
4π
s
1 r − 2ar
e 0 cos θ,
24a30 a0
1
r
ψ21±1 = ∓
3
8π
s
1 r − 2ar
e 0 sin θ e±iφ
24a30 a0