UNIVERSIT¨AT BASEL HS2015 Must ¨Ubung 1. Was ist die Anzahl

UNIVERSITÄT BASEL HS2015
EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK–BLATT 1
ABGABE DI. 29.09.15 UM 16.00
Must
Übung 1. Was ist die Anzahl an Teilmengen mit genau k Elementen einer Menge der
Mächtigkeit n?
Übung 2. Seien n, r ≥ 1 ganze Zahlen und x1 , x2 , . . . , xn n verschiedene Variabeln. Wie
viele Monome von Grad r mit Koeffizent 1 und Variabeln x1 , x2 , . . . , xn gibt es?
Übung 3. Zeichne n Punkte auf ein Blatt Papier (wähle als Beispiel n ∈ {3, 4, 5}) und
verbinde jeden Punkt mit allen anderen. Wir nennen dieses Objekt einen kompletten
Graphen mit n Knoten, i.e. Kn . Beweise die Anzahl der Kanten (Mächtigkeit des Graphen) ist n(n−1)
.
2
Standard
Übung 4. (3 Punkte) Beweisen Sie folgende Aussagen für 0 ≤ k < n:
n
1. nk + k+1
= n+1
k+1
2. n n+k
= (k + 1) n+k
k
k+1
Pn
n
n
3.
k=0 k = 2 .
Übung 5. (3 Punkte) Sie haben die fünf Ziffern 1, 2, 2, 3, 4 und sollen aus diesen alle möglichen fünfstelligen Zahlen bilden. Die Zahlen denken Sie sich der Grösse nach
geordnet in einer Liste vor. Folglich ist die erste Zahl 12234 und die letzte 43221. Beantworten Sie folgende Fragen:
1.
2.
3.
4.
5.
Wie viele Zahlen stehen in der Liste?
Wie viele Zahlen in der Liste beginnen mit 2?
Wie viele Zahlen in der Liste beginnen mit 3?
An welcher Stelle der Liste steht 13242?
Welche Zahl steht an der 50. Stelle?
Extra
Übung 6. Betrachte das Polynom p(x) = (x + 1)n , für n ∈ N. Sei 1 ≤ k ≤ n, was ist
der Koeffizient von xk in p? Beweise die Vermutung.
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EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK–BLATT 1 ABGABE DI. 29.09.15 UM 16.00
Übung 7. Sei p(x) ein Polynom mit nicht negativen ganzen Zahlen als Koeffizienten.
Welche ist die minimale Anzahl von Zahlen x1 , . . . , xn , für welche wir die Werte p(xi )
wissen müssen, um das Polynom eindeutig zu bestimmen? (Es gibt eine minimale Anzahl,
die nicht vom Grad des Polynoms p abhängt.)