EINF¨UHRUNG IN DIE STATISTIK–BLATT 4 Must

EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK–BLATT 4
UNIVERSITÄT BASEL HS2015
ABGABE DI. 20.10.15 UM 16.00
BITTE DEN NAMEN IHRES ASSISTIERENDEN AUF DAS BLATT SCHREIBEN
Must
Übung 1. Sei Z eine U [4, 6]-Zufallsgrösse (Uniform–Verteilung). Berechnen Sie
P [Z ∈ [5.5, 7]] und P [Z 2 ∈ [20, 35]].
Standard
Übung 2. (0.5+1+0.5+1 Punkte) Sei λ ∈ R>0 . Sei X eine stetige Zufallsvariable, s.d.
die Dichtefunktion defieniert ist durch:
(
ke−λx x ≥ 0
fX (x) =
,
0
x<0
wobei k ∈ R.
(1)
(2)
(3)
(4)
Welche k muss man nehmen?
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von fX (x).
Berechnen P (X > 1)x ∀x ∈ R.
Seien a, b ∈ R. Berechnen Sie P (X > a + b | X > b). Was kann man daraus
schliessen?
Übung 3. (1+2 Punkte) Überprüfen Sie, dass die folgenden Gleichungen gelten:
P
(1) Geometrische Verteilung: k≥1 p(1 − p)k−1 = 1 mit p ∈ (0, 1)?
(2) Normalverteilung (µ ∈ R, σ > 0):
Z ∞
1
2
1
√
e− 2σ2 (x−µ) dx = 1?
2πσ
−∞
Verwenden Sie bei b), dass gilt:
Z
∞
−∞
1 2
1
√ e− 2 x dx = 1.
2π
1
Extra
Übung 4. Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und eine reellwertige
Funktion X an, sodass diese Funktion X keine Zufallsgrösse ist.
Übung 5 (Harmonische Reihe und Konsorten I). a) Sei X eine stetige Zufallsgrösse
auf dem reellen Intervall [1, ∞). Die Dichte sei von der Art
1
K1 (α) α .
x
Dabei ist α > 0 ein reeller Parameter und K1 (α) eine Normierungskonstante. Welche
Werte für α sind zulässig, damit es sich dabei wirklich um eine Dichte handelt? Geben
Sie auch K1 (α) an.
b) Sei X eine stetige Zufallsgrösse auf dem reellen Intervall (0, 1). Die Dichte sei von
der Art
1
K2 (α) α .
x
Dabei ist α > 0 ein reeller Parameter und K2 (α) eine Normierungskonstante. Welche
Werte für α sind zulässig, damit es sich dabei wirklich um eine Dichte handelt? Geben
Sie auch K2 (α) an. c) Sei Y eine diskrete Zufallsgrösse auf den natürlichen Zahlen
(ohne die Null). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion sei dabei von der Art
1
K3 (α) α .
n
Dabei ist α > 0 ein reeller Parameter und K3 (α) eine Normierungskonstante. Welche
Werte für α sind zulässig, damit es sich dabei wirklich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion handelt?
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