3. Aufgabenblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
3. Aufgabenblatt zur
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Donnerstag, 21. 4. 2005, 13.00
Aufgabe 1 Es sei FX die Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsgrösse X. Zeigen Sie
(a) FX ist rechtsstetig und besitzt linksseitige Limiten in jedem Punkt x ∈
(b) Für alle x ∈
R gilt: FX ist stetig in x ⇔ P (X = x) = 0.
R.
(c) FX hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen.
Hinweis zu (c): Stellen Sie { x ∈
Mengen dar.
R | P (X = x) > 0 } als abzählbare Vereinigung endlicher
Aufgabe 2 Es seien (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, λ das Lebesgue-Borelsche Mass
auf ( , B) und X : Ω → eine nichtnegative Zufallsgrösse.
R
R
(a) Sei A := {(ω, t) ∈ Ω ×
R : 0 < t < X(ω)}. Zeigen Sie, dass A ∈ F ⊗ B ist.
(b) Zeigen Sie, dass gilt
Z
EX =
P (X > t) λ(dt).
(0,∞)
Hinweis zu (a):
t ∈ (0, ∞) ∩ .
Q
(2)
Betrachten Sie At
(2)
× (0, t) mit At
= {ω ∈ Ω : (ω, t) ∈ A} und
Aufgabe 3 Es seien
C0 := [0, 1],
C1 := C0 \ (1/3, 2/3),
C2 := C1 \ ((1/9, 2/9) ∪ (7/9, 8/9)),
...
(Cn+1 entsteht aus Cn durch weglassen der mittleren Drittel aller 2n Teilintervalle,
aus denen
T∞
sich Cn zusammensetzt). Die Cantor-Menge ist definiert als CP:= n=1 Cn . C besteht aus
−k mit a ∈ {0, 2}
den Zahlen x ∈ [0, 1], welche eine triadische Darstellung x = ∞
k
k=1 ak 3
besitzen. Definiere eine Funktion F : C → [0, 1] :
F (x) =
∞
X
ak 2−(k+1)
für x =
k=1
∞
X
ak 3−k .
k=1
(a) F ist monoton wachsend und besitzt eine stetige Fortsetzung F̃ : [0, 1] → [0, 1], welche
konstant ist auf allen Teilintervallen, die [0, 1] \ C bilden.
(b) F̃ ist die (stetige) Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmasses, welches bezüglich
des Lebesgue-Masses keine Dichte besitzt.
Hinweis: Die Cantor-Menge hat Lebesgue-Mass 0.
Bitte wenden
Aufgabe 4 Sei X eine standardnormalverteilte Zufallsgrösse und sei c > 0. Die Zufallsgrösse
Yc sei definiert durch
X(ω) falls |X(ω)| ≤ c,
Yc (ω) :=
−X(ω) falls |X(ω)| > c.
Zeigen Sie, dass Yc ebenfalls standardnormalverteilt ist.