4. Aufgabenblatt zur Einführung in die Stochastik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
4. Aufgabenblatt zur Einführung in die
Stochastik
Abgabe bis Donnerstag, 23. 11. 2006, 13.00
Aufgabe 1 Ist X eine Zufallsgrösse auf einem (diskreten) Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, p), dann bezeichnet FX (z) := P (X ≤ z) für z ∈
die Verteilungsfunktion von
X.
R
(a) Bestimmen Sie für eine Zufallsgrösse X mit der unten gezeichneten Verteilungsfunktion FX den Erwartungswert und die Varianz.
(b) Berechnen Sie E(g(X)) und E(h(X)) für die obige Zufallsgrösse X, wobei die
Funktionen g und h durch g(x) = |x|/2 − 1 und h(x) = 1Q (x) für alle x ∈
definiert sind.
R
F X (z)
1
0.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
z
Aufgabe 2 Sei X eine Zufallsgrösse, für die der Erwartungswert von X 2 existiert. Zeigen Sie, dass die Funktion f : → mit f (a) := E((X −a)2 ) ihr globales und eindeutig
bestimmtes Minimum im Punkt a = E(X) annimmt.
R R
Aufgabe 3 Glücksspieler nennen einen oder mehrere aufeinander folgende gleiche Würfe
im Münzwurf einen Run. Es bezeichne Yn die Anzahl der Runs in n Würfen. Die verwendete Münze zeige ,,Kopf“ mit Wahrscheinlichkeit p. Zeigen Sie, dass für n ≥ 2 gilt
E(Yn ) =1 + 2(n − 1)pq,
var(Yn ) =(4n − 6)pq + 4(5 − 3n)p2 q 2 ,
wobei q = 1 − p ist.
Hinweis: Sei Xn die Anzahl der Wechsel bei n Würfen. Dann ist Yn = Xn + 1.
Aufgabe 4 Es seien r > 0 und X eine Zufallsgrösse mit r-tem absoluten Moment, das
heisst E(|X|r ) < ∞.
(a) Beweisen Sie für alle c > 0 die Abschätzung P (|X| ≥ c) ≤ E(|X|r )c−r .
(b) Zeigen Sie, dass gilt
lim cr P (|X| ≥ c) = 0 .
c→∞