Serie 6

Quantenmechanik II
Serie 6.
FS 2017
Prof. Thomas Gehrmann
http://www.physik.uzh.ch/de/lehre/PHY351/FS2017.html
Übung 1.
Ausgabe: 27. März 2017
[Plancksches Strahlungsgesetz]
Betrachte die Wechselwirkung von Atomen mit dem Strahlungsfeld durch die Reaktion A γ + B im thermischen Gleichgewicht. Die Besetzungszahlen des höheren bzw. tieferen Niveaus
im Atom seien N (A) bzw. N (B). Im Gleichgewicht gilt
N (B) wabs = N (A) wemis
N (B)
N (A)
=
e
−EB
kT
e
−EA
kT
,
(1)
(2)
wobei wabs bzw. wemis die Übergangswahrscheinlichkeiten für B + γ → A bzw. A → B + γ sind.
Berechne wemis /wabs als Funktion der Besetzungszahldichte n(~k, α) der Photonen und leite dann
mit Hilfe der Gleichungen (1),(2) einen Ausdruck für die Besetzungszahldichte n(~k, α) her.
Übung 2.
[Wasserstoffatom I]
Ein Wasserstoffatom befindet sich in einem zeitabhängigen homogenen elektrischen Feld, das
durch
Aτ
1
E(t) =
2
eπ t + τ 2
gegeben ist.
A und τ sind Konstanten. Bestimme den Wechselwirkungsoperator HW und berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das Atom zur Zeit t = +∞ in einem 2p-Zustand befindet, falls es
zur Zeit t = −∞ im Grundzustand war.
Übung 3.
[Wasserstoffatom II]
Zerfällt das 3p–Niveau im Wasserstoffatom eher in einen 1s oder einen 2s Zustand?
Verwende zur Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit Eigenfunktionen in sphärischen Polarkoordinaten:
2r
− 32
ψnlm (r, θ, ϕ) = a Nnl Fnl
Ylm (θ, ϕ)
(3)
na
s
2 (n − l − 1)!
Nnl =
(4)
n2
[(n + l)!]
z
Fnl (z) = z l e− 2 L2l+1
n−l−1 (z)
(5)
Hierbei ist a = aZ0 (Z = 1 für H-Atom), a0 ist der Bohrsche Radius. Für die Laguerre-Polynome
3
1
L2l+1
n−l−1 (z) gilt L1 (z) = (4 − z), L1 (z) = (2 − z) . Die Relation
Z
dΩ
∗
ˆ)
√ x̂i Y1m
(~x
l
4π
Z
dΩ0
ˆ0 ) = 1 δm m0
√ x̂0i Y1m0 (~x
l
3 l l
4π
ist bei der Berechnung explizit herzuleiten.
1
Übung 4.
[Polarisationsvektoren]
Leite folgende Beziehungen her:
X
α
ki kj
∗α (~k)i α (~k)j = δij −
|~k|2
Z
dΩ = 4π
Z
ki kj
4π
dΩ
=
δij
2
~
3
|k|
wobei ~k(θ, φ) = |~k|(sin θ sin φ, sin θ cos φ, cos θ)
2