Höhere Mathematik 1 Präsenzübungen

T. Conde, J. Meinel,
D. Seus, S. Thelin,
R. Tielen, A. Wünsch
1. Gruppenübung zur Vorlesung
M. Künzer
M. Stroppel
Höhere Mathematik 1
Wintersemester 2016/17
Präsenzübungen
Aufgabe P 1. Elementares Rechnen
(a) Berechnen Sie
3· 23
2
,
3
10
2
5
,
1
6
+
13
21
und
1
3
+
2+5
.
5
(b) Berechnen Sie k für alle
k ∈ {0, 1, 2, 3}. Bestimmen Sie
n
n
Ausdrücke 1 und n−1 für n ∈ N.
5
2
. Vereinfachen Sie die
(c) Multiplizieren Sie die Klammern aus und vereinfachen Sie:
(α + 1)(2 − α),
(α + 3)(2 − α)(α + 1),
(α − 2)
(α + 3)2 − (α + 1)(α + 4)
.
(α − 2)(α + 5)
(d) Seien a1 = 5, a2 = 3, a3 = −1, a4 = 3, a5 = 17, a6 = −4 gegeben. Sei bj = aj + 1
für alle j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Berechnen Sie
5
X
j=2
aj ,
5
X
j=2
bj ,
2
X
a2j+1 ,
j=0
3
X
b2j ,
j=1
3
X
j=1
2bj ,
4
X
aj .
j=4
Aufgabe P 2. Binomischer Lehrsatz
(a) Berechnen Sie (α + 2)4 , indem Sie die Klammern ausmultiplizieren.
Berechnen Sie danach (α + 2)4 unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes.
(b) Bestimmen Sie die reellen Nullstellen der folgenden beiden Funktionen f1 , f2 : R → R.
Skizzieren Sie anschließend den jeweiligen Funktionsgraphen in R2 :
p
(x − 5)(x + 5) + 32 + 42 .
f1 (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1,
f2 (x) =
(c) Berechnen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung 2 = 2x2 − 28x + 100.
Aufgabe P 3. Vollständige Induktion
Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgende Aussage:
Für alle n ∈ N gilt
n X
n
k=0
k
= 2n .
Können Sie diese Aussage auch aus dem Binomischen Lehrsatz herleiten?
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1. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 1. Umgang mit Summen
Hinweis: Bereits behandelte Summenformeln aus dem Skript dürfen verwendet werden.
P
(a) Sei ak ∈ R für k ∈ N. Zeigen Sie nj=0 (aj+1 − aj ) = an+1 − a0 für n ∈ N.
Pn−1 2
(b) Berechnen Sie j=1
(j − 2j).
Pn
(c) Berechnen Sie j=3 (j 2 − 2j).
(d) Sei aj = (−1)j · j für j ∈ N.
P
P
P
Berechnen Sie 4j=1 a2j und 8j=4 a3j−9 . Berechnen Sie 2k+1
j=1 aj für k ∈ N.
Aufgabe H 2. Binomischer Lehrsatz
Berechnen Sie alle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen.
(a) x3 − 9x2 + 27x − 27 = 0
(b) 7x4 + 28x3 + 42x2 + 28x + 15 = 8
(c) x4 + 3x3 − 4x2 + 14 = 3x3 + 4x2 + 7
(d) (x2 + 4x + 4)(x2 − 6x + 9) = −1
Aufgabe H 3. Vollständige Induktion
(a) Beweisen Sie mittels Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:
n X
3+n
2+k
.
=
n
2
k=0
(b) Zeigen Sie mit Induktion, dass für alle a, b ∈ R und n ∈ N gilt:
n
n
a − b = (a − b)
n−1
X
an−1−k bk .
k=0
Online-Aufgabe.
Sie finden Ihre Online-Aufgabe auf folgender Webseite.
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/tests/test430/
Bitte geben Sie dort zunächst Ihre Matrikelnummer ein.
Die Lösungen sind als ganze Zahlen oder als Dezimalzahlen mit einem Dezimalpunkt einzugeben. Sonstige Zeichen, wie zum Beispiel Klammern oder Operatoren wie ∗ und /, dürfen
nicht benutzt werden.
Anschließend müssen Sie das per Email erhaltene Passwort für die Onlineübungen eintragen.
Innerhalb des Bearbeitungszeitraums können Sie Ihre Eingaben beliebig oft wiederholen, wobei die letzten Eingaben gewertet werden. Der Bearbeitungszeitraum endet mittwochs, nach
der Abgabe der schriftlichen Übungen in den Übungsgruppen, um 24:00 Uhr. Sie erhalten
für die Bearbeitung der Online-Aufgabe 0 bis 2 Punkte.
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