Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Dr. B. Ackermann
19. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Lineare Algebra und analytische Geometrie II
Sommer 2010
Aufgabe P 81.
Welches der folgenden Abbildungen f : K ×n → K sind Multilinearformen?
(a) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 + x2 + . . . + xn ,
(b) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = xn1 + xn2 + . . . + xnn ,
(c) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 · x2 · · · · ·xn ,
(d) f (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 · x22 · · · · · xnn .
Welche Dimension hat der Vektorraum der n-fachen Multilinearformen auf K ? Bestimmen Sie
eine Basis.
Aufgabe P 82.
 
 
 
1
2
1
3





Sei V = R und B = (b1 , b2 , b3 ) mit b1 = 2 , b2 = 3 , b3 = 1 , und sei f :
0
0
1
V × V × V → R eine alternierende 3-fache Multilinearform auf V mit f (b1 , b2 , b3 ) = 2.
Bestimmen Sie f (e1 , e2 , e3 ). (E = (e1 , e2 , e2 ) sei dabei wieder die Standardbasis)
Schreiben Sie f als Linearkombination der Basiselemente fi,j aus der Vorlesung (bezüglich der
Standardbasis).
Aufgabe P 83.
Zeigen Sie mit Hilfe der multilinearen Algebra: Ist A eine n × n-Matrix, und A0 die Matrix,
die entsteht, wenn man das λ-fache der j -ten Spalte von A auf die i-te Spalte addiert. Dann
ist det(A) = det(A0 ).
Aufgabe P 84.
Eine k -fache Multilinearform f : V ×k → K heißt symmetrisch, falls für alle π ∈ Sk gilt
f (v1 , . . . , vk ) = f (vπ(1) , . . . , vπ(k) ). Zeigen Sie, dass die Menge der symmetrischen k -fachen
Multilinearformen f : V ×k → K einen K -Vektorraum bildet, und bestimmen Sie eine Basis.
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19. Gruppenübung
Lineare Algebra und analytische Geometrie II
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 40.
3+3 Punkte
Eine multilineare Abbildung f : V ×k → W heißt alternierend, falls f (v1 , . . . , vk ) = 0 ist für
jedes linear abhängige k -Tupel (v1 , . . . , vk ) von Vektoren vi ∈ V .
(a) Zeigen Sie, dass eine k -fache multilineare Abbildung genau dann alternierend ist, wenn
f (v1 , v2 , . . . , vk ) = 0 ist, sobald zwei der Vektoren vi gleich sind.
(b) Sei V ein K -Vektorraum und E = EndK (V ). Zeigen Sie, dass durch [., .] : E × E →
E : [f, g] 7→ f g − gf eine alternierende multilineare Abbildung gegeben ist.
Aufgabe H 41. 2+2 Punkte
Zeigen Sie mit Hilfe der multilinearen Algebra:
(a) Vertauscht man zwei Spalten einer n × n-Matrix, so ändert sich das Vorzeichen der
Determinante
(b) Multipliziert man eine Spalte einer n × n-Matrix mit einem Skalar λ ∈ K , dann wird die
Determinante mit λ multipliziert.
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