Höhere Mathematik 1

D. Ewert
I. Rybak
S. Poppitz
1. Gruppenübung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik 1
Winter 2008/09
Aufgabe P 1. Elementares Rechnen
Berechnen Sie ohne Taschenrechner:
(a) x1 = 2097, 8 : 17
1 15
(b) x2 = · 5
6
√ 2
(c) x3 = 482 + 142
Aufgabe P 2. Binomialkoeffizienten
Berechnen Sie ohne Taschenrechner:
10
(a) x1 =
7
8
8
8
(b) x2 =
+
−
5
6
8
Hinweis: Nutzen Sie dabei die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten geschickt aus.
Aufgabe P 3. vollständige Induktion, Fakultät
Beweisen Sie folgende Summenformeln mit Hilfe der vollständigen Induktion:
n
X
n(2n − 1)(2n + 1)
(a)
(2j − 1)2 =
3
j=1
(b)
n
X
k=1
k · k! = (n + 1)! − 1
Aufgabe P 4.
Mengen
(a) Skizzieren Sie die Menge
M1 := {(x, y) ∈ R2 | x > −1}
(b) Skizzieren Sie die Mengen
M2 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} ,
M3 := {(x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 = 4} ,
M4 := {(x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + (y + 1)2 = 4} .
Diskutieren Sie dabei in ihrer Gruppe, welche Auswirkungen die Änderungen bei jedem
Schritt in der Skizze haben.
(c) Skizzieren Sie nun die Mengen
M5 := {(x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + (y + 1)2 ≦ 4} ,
M6 := {(x, y) ∈ R2 | y − 2(x + 1)2 ≧ 2} .
und die Schnittmenge von M1 , M5 und M6 .
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1. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 1. Binomischer Lehrsatz
Zeigen Sie, dass die folgende Summenformel für alle Zahlen n ∈ N gilt:
n
X
k n
=0
(−1)
k
k=0
Hinweis: Sie können dabei den Binomischen Lehrsatz verwenden, den Sie in der Vorlesung
gelernt haben.
Aufgabe H 2. vollständige Induktion, Pascalsches Dreieck
Zeigen Sie mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion über n, dass die folgende Summenformel für alle m, n ∈ N0 gilt:
n X
m+k
k=0
m
=
m+n+1
m+1
Stellen Sie das Ergebnis für m = 3, n = 1 im Pascalschen Dreieck dar.
Hinweis: Nutzen Sie hier ebenfalls die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten geschickt aus.
Aufgabe H 3.
Mengen
(a) Skizzieren Sie die Mengen
M1 : = {(x, y) ∈ R2 | y = −2 (x + 1)2 + 4} ,
M2 : = {(x, y) ∈ R2 | x + 2 (y + 1)2 = 4} .
(b) Skizzieren Sie nun die Mengen
M3 : = {(x, y) ∈ R2 | (x − 1)2 + y 2 ≦ 2} ,
M4 : = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1} .
und die Schnittmenge von M3 und M4 .
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D. Ewert
I. Rybak
S. Poppitz
2. Gruppenübung
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. N. Knarr
Höhere Mathematik 1
Winter 2008/09
Aufgabe P 5. Komplexe Zahlen
√
Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 1+i, z2 = 2−3 i, z3 = −i und z4 = (1 + 2) i − 1.
Berechnen Sie die folgenden Terme und geben Sie die Ergebnisse sowohl in klassischer Schreibweise (a + b i) als auch als Paar (a, b) an (jeweils mit a, b ∈ R).
(a) z5 = z1 + z4
(b) z6 = z1 · z2
(c) z7 = z2
z1
(d) z8 =
z3
Skizzieren Sie alle beteiligten Zahlen in der Zahlenebene.
Aufgabe P 6. Mengen
Bestimmen Sie folgende Teilmengen von C und skizzieren Sie diese:
M1 := z ∈ C |z − i + 1| ≦ 1 ,
n
√ o
M2 := z ∈ C Im (1/z̄) ≧ 2 ,
M3 := z ∈ C Re(z) ≧ 1 ∧ Im(z) < −2
Aufgabe P 7.
Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
(a) Prüfen Sie folgende Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
f : R → R : x 7→ x3 − x2
√
g : R+ → R+ : x 7→ x
h : C → C : c 7→ c
(b) Es seien die Mengen M1 := {0, 1, 2, 3} und M2 := {0, 1, 2, 3, 4} gegeben. Existiert eine
injektive, eine surjektive, eine bijektive Abbildung von M1 nach M2 ?
(c) Existiert eine injektive, eine surjektive, eine bijektive Abbildung vom Intervall I1 := [0, 3]
ins Intervall I2 := [0, 4]?
Aufgabe P 8. Aussagen und komplexe Zahlen
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind:
(a) ∀c ∈ C ∃(a, b) ∈ R2 : c = a + bi
(b) ∀c ∈ C : c = Re c + Im c
(c) ∃c ∈ C : c = Re c + Im c
(d) ∀c ∈ C : c = Re c + (Im c)i
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2. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 4. Komplexe Zahlen
Berechnen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + y i mit x, y ∈ R:
(1 + i)2
(1 − i)2
√ 3
√ 3
(b) (1 + 3 i) + (1 − 3 i)
(a) (2 − 3 i)(3 + 2 i) +
(c) (1 + i)10
(d) Im(2 − 4 i) + Re(|5 + 2 i|)
Aufgabe H 5. Mengen
Bestimmen Sie folgende Teilmengen von C und skizzieren Sie diese:
M1 := z ∈ C z + z̄ = z · z̄ ,
M2 := z ∈ C |z − 1| = |z + 1| ,
M3 := z ∈ C |z| ≦ 1 ∨ |z − 3 i| ≦ 2 .
Aufgabe H 6. Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
Überprüfen Sie, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind und begründen
Sie Ihre Antwort:
(a) f : C → C : c 7→ c2
(b) g : C → C : c 7→ |c|
(c) h : C → C : c 7→ i · c
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D. Ewert
I. Rybak
S. Poppitz
3. Gruppenübung
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. N. Knarr
Höhere Mathematik 1
Winter 2008/09
Aufgabe P 9. Polarkoordinaten komplexer Zahlen
Berechnen Sie jeweils die Polarkoordinatendarstellung der folgenden komplexen Zahlen:
(a) z1 = 4 i
(b) z2 = 5 − 5 i
√
(c) z3 = 1 + 3 i
Aufgabe P 10.
Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z , die die Gleichung
z 4 = 16 − 16 i
erfüllen.
Aufgabe P 11.
Linearfaktoren
(a) Zerlegen Sie die folgenden Polynome in Linearfaktoren:
p1 (X) = 4 X 3 + 7 X 2 − 7 X − 10 und p2 (X) = 7 X 4 − 10 X 3 − 15 X 2 + 10 X + 8 .
(b) Wie müssen die Parameter a, b, c und d aus C gewählt werden, damit i, −1 und 1−2 i
Nullstellen des Polynoms p(X) = a X 3 + b X 2 + c X + d sind?
Aufgabe P 12. Vektorräume und Untervektorräume
Gegeben ist die Menge der reellen Polynome Pol R.
P
Weiter ist Pol2 R := p ∈ Pol R p = 2k=0 αk X k ; αk ∈ R die Menge der Polynome vom
Grad höchstens 2.
(a) Verifizieren Sie, dass Pol R ein R-Vektorraum ist.
Hinweis: Machen Sie sich zunächst klar, wie die Addition und die Multiplikation mit
Skalaren sinnvollerweise zu definieren ist.
(b) Zeigen Sie, dass Pol2 R ein Untervektorraum von Pol R ist.
Aufgabe P 13. Kartesische Produkte
Gegeben ist das reelle Intervall I := [0, 1] und die Menge
W := I 3 =
I × I × 2I sowie die
2
Mengen S1 := (a, b, 0) ∈ W (a, b) ∈ I und S2 := (a, 0, b) ∈ W (a, b) ∈ I .
(a) Visualisieren Sie die Menge W durch eine Skizze.
Hinweis: Es kann dabei helfen, sich W als Teilmenge des R3 vorzustellen.
(b) Skizzieren Sie S1 , S2 j W .
(c) Verstehen Sie anhand dieses Beispiels die Gesetze von de Morgan.
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3. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 7.
Gegeben sind die komplexen Zahlen
z1 := 1 − i , z2 :=
√
3 + i , z3 :=
√
3i .
Berechnen Sie die folgenden Terme möglichst geschickt, indem Sie Polarkoordinaten verwenden,
wenn es gegeben erscheint. Geben Sie die Ergebnisse sowohl in Polarkoordinaten als auch in
der Form a + b i mit (a, b) ∈ R2 an.
(a) z2 · z3
(b) z1 2 − z3
(c) z2 10
(d) z4 + z1 , wobei z4 Lösung der Gleichung z4 2 = z3 ist.
Aufgabe H 8.
(a) Gesucht ist ein Polynom p ∈ Pol R so, dass
p · (X 2 − 7 X) = (3 X 5 − 21 X 4 + X 3 − 5 X 2 − 14 X) .
(b) Zerlegen Sie das Polynom X 4 − X 2 − 12 ∈ Pol C in (komplexe) Linearfaktoren.
(c) Zerlegen Sie das Polynom X 4 − X 2 − 12 ∈ Pol R so in ein Produkt reeller Polynome,
dass keiner dieser Faktoren mehr als eine reelle Nullstelle besitzt.
Aufgabe H 9.
Vektoräume und Untervektorräume
(a) Weisen Sie nach, dass C ein R-Vektorraum ist.
Hinweis: Machen Sie sich zunächst klar, wie die Addition und die Multiplikation mit
Skalaren sinnvollerweise zu definieren ist.
(b) Sei c ∈ R eine reelle Konstante. Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Mengen
um Untervektorräume des R-Vektorraums C handelt:
R := a + 0i ∈ C a ∈ R
G := z ∈ C arg(z) = c
K := z ∈ C |z| = c
Zusatz (geht nicht in die Bewertung ein): Wie ändert sich die Situation, wenn man C als
C-Vektorraum betrachtet?
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4. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
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Aufgabe P 14.
Die Ebene E ist im R3 durch die Punkte P1 = (1, 0, 0), P2 = (0, 1, 0) und P3 = (0, 0, 2)
aufgespannt. Weiter ist die Gerade g gegeben durch g : (0, 0, −4) + λ(−1, 1, 0).
Untersuchen Sie, ob die Gerade g parallel zur Ebene E ist.
Aufgabe P 15.
Gegeben sind die folgenden Vektoren in R3 :
 
 
 
0
0
1





1 ,
1
1
, v3 =
, v2 =
v1 =
1
0
0

1
v4 =  0  ,
−1


1
v5 =  0  .
1

Sind die Vektoren
• v 1 , v2 , v3
• v1 , . . . , v 5
• v 1 , v5
jeweils linear unabhängig? Welche Dimension hat jeweils die Lineare Hülle L? Bilden sie jeweils
ein Erzeugendensystem von R3 ? Bilden sie jeweils eine Basis von R3 ?
Bilden Sie aus den Vektoren v1 , . . . , v5 mindestens zwei verschiedene Basen von R3 sowie
mindestens zwei davon verschiedene Erzeugendensysteme von R3 .
Aufgabe P 16.
Wir betrachten den Vektorraum Pol2 R :=
o
j
α
X
α
∈
R
der reellen Polynome vom
j
j=0 j
nP
2
Grad höchstens 2 mit den Basen B = {X 2 , X − 1, X + 1} und C = {1, X, X 2 }.
Geben Sie für die Polynome p(X) := X 2 + 2X , q(X) := X 2 + 2X + 1 sowie p + q die
Koordinatentupel B p, B q , B (p + q) bezüglich B und C p bezüglich C an.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch eine Probe.
Aufgabe P 17.
Sei V ein R-Vektorraum √
mit “Skalarprodukt” (∗) h· | ·i und b1 , b2 , b3 ∈ V so, dass hb1 | b1 i = 1,
hb1 | b2 i = 0, hb1 | b3 i = 2, hb2 | b2 i = 2, hb2 | b3 i = −1 und hb3 | b3 i = 1.
Berechnen Sie hb1 + b2 + b3 | α b1 − 2b3 − b2 i für α ∈ R und |b1 + b2 + b3 |.
(*) Vorsicht: Das “Skalarprodukt” erfüllt nicht alle Eigenschaften aus 2.6.1.
Aufgabe P 18.
Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt h· | ·i und u, w ∈ V linear unabhängige Vektoren.
Bestimmen Sie einen Vektor v ∈ L (u, w), der orthogonal zu u ist, d.h. hu | vi = 0, und der
normiert ist, d.h. hv | vi = 1 erfüllt.
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4. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 10.
Gegeben ist der Vektorraum R3 sowie die Vektoren
 
 
 
0
1
1
b1 =  1  , b2 =  0  und b3 =  1  .
1
1
0
(a) Zeigen Sie, dass B = {b1 , b2 , b3 } eine Basis von R3 ist.
(b) Geben Sie für die Vektoren


2
u =  0 ,
−4
die Koordinatentupel
B
u,
B
v,
B


0
v= 3 
0


2
und w =  3 
−4
w bezüglich B an.
Aufgabe H 11.
Gegeben ist der Vektorraum R3 . Die Basis O = {b1 , b2 , b3 } besteht aus den folgenden Vektoren:



 

1
−1
1
−1 
b1 =  1  b2 =  √1  b3 =  √
0
2
2


1
Sei weiter v =  −1  gegeben.
0
(a) Zeigen Sie, dass hb1 | b2 i = hb1 | b3 i = hb2 | b3 i = 0.
(b) Berechnen Sie |b1 |, |b2 | und |b3 |.
(c) Zeigen Sie:
v=
hv | b1 i
hv | b2 i
hv | b3 i
b1 +
b2 +
b3
hb1 | b1 i
hb2 | b2 i
hb3 | b3 i
(d) Geben Sie das Koordinatentupel
O
v bezüglich O an.
Aufgabe H 12. Beispiel 2.6.3
Zeigen Sie, auf dem Vektorraum C 0 ([0, 1]) der stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]
definiert
Z
1
hf | gi =
f (x) g(x) d x
0
ein Skalarprodukt.
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5. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
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Aufgabe P 19. Vektorprodukt, Winkel
Gegeben sind die folgenden Vektoren
 
 
0
2
a= 3  , b= 3 
2
0

−1
und c =  4  .
7

Berechnen Sie:
(a) a × b
(b) (a + b) × c
(c) ha + b | a × bi
(d) |b × c|
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren a und b aufgespannt wird.
Aufgabe P 20. Matrizen
Gegeben seien die Matrizen
1
,
A= 1 2 ,
B=
2
C=
1 0
,
2 3
D=
1 2
,
3 4
E=
B + D,
C + D.
2 0 1
.
4 1 3
Geben Sie an, welche der Matrizenprodukte und Summen
AB,
BA,
CE,
EC,
⊺
E C,
⊺
A+B ,
existieren und berechnen Sie diese.
Aufgabe P 21. Lineares Gleichungssystem
André Citroën, Rudolf Diesel und Henry Ford spielen ein Würfelspiel, bei dem jeder genau einmal würfeln darf. Rudolf Diesel würfelt nur eine halb so hohe Augenzahl wie Henry Ford und
André Citroën zusammen. Dahingegen würfelt Henry Ford eine genauso hohe Augenzahl wie
die anderen beiden gemeinsam. Wenn André Citroën, Rudolf Diesel und Henry Ford zusammengenommen genau die bei einem Würfel höchstmögliche Augenzahl würfeln, welche Augenzahl
würfeln dann die einzelnen Ingenieure?
Aufgabe P 22. Abstand zwischen windschiefen Geraden
Zeigen Sie, dass die beiden Parameterdarstellungen
 
 
 
1
1
6
und
g2 : x = t  0  ,
g1 : x =  5  + s  1  , s ∈ R
1
0
2
t∈R
windschiefe Geraden beschreiben (d. h. g1 und g2 sind nicht parallel und schneiden sich nicht),
berechnen Sie deren Abstand und bestimmen Sie die Punkte P ∈ g1 und Q ∈ g2 mit dem
kürzesten Abstand.
Hinweis: Die Verbindungsgerade h zwischen den Punkten P und Q steht senkrecht auf g1
und auf g2 , und diese beiden Geraden liegen in Ebenen, die jeweils senkrecht zu h sind.
Wie erhalten Sie am bequemsten einen Richtungsvektor für h ?
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5. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 13. Vektorprodukt
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke mit Vektoren a, b, c:
(a) (2a + b) × (a + 2b)
(b) (2a + b) × (c − a) + (b + c) × (a + b)
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass das Vektorprodukt in jedem der beiden Argumente additiv ist,
d. h. es gilt a × (b + c) = a × b + a × c und (b + c) × a = b × a + c × a.
Aufgabe H 14. Winkel, Flächenberechnung
Gegeben sind zwei Vektoren a und b mit |a| = |b| = 5 und W(a, b) = 45◦ . Berechnen Sie den
Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren a − 2b und 3a + 2b aufgespannt wird.
Aufgabe H 15. Matrizen
Gegeben seien die Matrizen


1 2 3
A = 4 5 6 ,
7 8 9


−1 0 2
5 0 ,
B= 7
4 −1 2


1 0 0
C = 0 2 0 .
0 0 3
Berechnen Sie:
(a) 4A + 7B
(b) B − A
(c) AB
⊺
(d) (A + B)C
⊺
(e) A + 2AB + C
⊺
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Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. N. Knarr
6. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
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Aufgabe P 22.
Wir betrachten die folgenden linearen Gleichungssysteme in R3 .
2x1 − x3 + 3x2 = 0
1x1 + 3x2 = −1
x1 + x3
= 0
(a)
(b) −2x1 + x2 = 4
3x1 + 3x2
= 0
7x2 + 0x1 = 2
Sind die Gleichungssysteme jeweils homogen oder inhomogen?
(c)
2x1 + x2 = −5
x1 + 0x2 = 4
3x2 + x2 = 0
Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf.
Lösen Sie die Gleichungssysteme.
Führen Sie eine Probe durch.
Aufgabe P 23.
Heinrich Lohse braucht für sein Büro einen neuen Computer. Um einen Mengenrabatt zu bekommen bestellt er Radiergummis, Schreibmaschinenpapier und Computer im Wert von insgesamt
300.000,– DM und bekommt dann Radiergummis für 0,10 DM pro Stück, Schreibmaschinenpapier für 2,80 DM pro Packung und Computer für 6000,– DM pro Gerät (zur Erinnerung:
1¤∼
= 1,95883 DM). Insgesamt bestellt Herr Lohse 300.000 Artikel beim Großhandel. Wieviele Radiergummis, wieviele Packungen Schreibmaschinenpapier und wieviele Computer hat er
jeweils bestellt?
Aufgabe P 24. Grassmann- und Jacobi-Identität
Beweisen Sie für beliebige a, b, c ∈ R3
(a) die Grassmann-Identität:
(b) die Jacobi-Identität:
(a × b) × c = ha | ci b − hb | ci a,
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.
Aufgabe P 25. Interpolation
Für n ∈ N0 ist die Menge Trign $ C 0 ([0, 2π]) rekursiv definiert via
Trig0 := {f : R → R : x 7→ 1}
Trign := Trign−1 ∪ {cos(nx), sin(nx)} für n > 0.
(a) Lösen Sie, falls möglich, die folgenden Interpolationsprobleme: Gesucht ist jeweils eine
Funktion gi ∈ L (Trig1 ) so, dass
• g1 (0) = 0 und g1 (2π) = 21
• g2 (0) = 0 und g2 ( π2 ) = 1
√
• g3 (0) = 0, g3 ( π2 ) = 1 und g3 ( π3 ) = 3
√
• g4 (0) = 0, g4 ( π2 ) = 1, g4 ( π3 ) = 3 und g4 (π) = 0
(b) Zeigen Sie, Trig1 ist eine linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums C 0 ([0, 2π]).
(c) Stellen Sie die Koeffizientenmatrix für das allgemeine Interpolationsproblem auf: Es sind
m ∈ N und (xi , yi ) ∈ R2 für 0 ≦ i ≦ m gegeben. Für n ∈ N ist eine Funktion
g ∈ L (Trign ) so gesucht, dass gilt g(xi ) = yi . Diskutieren Sie anhand der Koeffizientenmatrix, wann das Problem lösbar ist und wann es genau eine solche Funktion gibt.
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6. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 16. Lineare Gleichungssysteme
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungssysteme:
(a)
2x − 3y + z − 2 = 0
x + 5y − 4z + 5 = 0
4x + y − 3z + 4 = 0
3x + 2y − z = 0
(b) 2x − y + 3z = 0
x + y − z = 0
x + 2y + 3z = 4
(c) 2x + 4y + 6z = 3
3x + y − z = 1
x + 2y + 3z = 4
(d) 2x + y − z = 3
3x + 3y + 2z = 7
Aufgabe H 17.
In R4 sind die folgenden Vektoren gegeben:
 
 
 
 
 
 
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
 
 
 

 
 
b1 := 
0 , b2 := 1 , b3 := 0 , b4 := 1 , b5 := 2 und b6 := 1 .
0
1
0
0
1
0
Bestimmen sie den Schnitt von Untervektorräumen L (b1 , b2 , b3 ) ∩ L (b4 , b5 , b6 ).
Aufgabe H 18.
Es sei α ∈ R. Gesucht ist eine Matrix Aα ∈ R4×4 , die folgendes erfüllt:
   
   
   
   
0
−1
0
0
0
1
0
1
 0  0
0 0
1 −1
0 1
   
   
   
  
Aα ·
0 = 0 , Aα ·0 =  0  , Aα · 1  =  1  und Aα ·α2  =  1  .
0
α2
0
α
1
α2
0
0
Für welche α ∈ R lässt sich eine solche Matrix Aα finden? Für welche α ∈ R gibt es genau
eine solche Matrix Aα ? Geben Sie, wenn möglich, die Matrix Aα explizit an.
Hinweis: Ein Gleichungssystem mit allen Unbekannten wird sehr unübersichtlich. Versuchen
Sie stattdessen mehrere von einander unabhängige Gleichungssysteme aufzustellen. Vergleichen
Sie deren Koeffizienten, bevor sie beginnen die Systeme zu lösen.
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I. Rybak
S. Poppitz
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. N. Knarr
7. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Winter 2008/09
Aufgabe P 26.
Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen:


2 1 4 −3
 0 1 2 −1
4×4

A := 
 1 1 3 −2 ∈ R
−1 2 3 −1
B :=
1 i
∈ C2×2
i −1
Aufgabe P 27.
⊺
Es sei die Abbildung f : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ y + z, − 32 x + 32 y − 21 z, 12 x − 23 y + 21 z
⊺
⊺
⊺
geben. Weiterhin betrachten wir die Basis B : (1, 0, −1) , (1, 1, 0) , (0, 1, −1) .
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
E
⊺
ge-
f E von f bezüglich der Standardbasis E .
(b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung B f E von f bezüglich der Basis B im Zielbereich
und der Standardbasis E im Definitionsbereich.
(c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
f
B B
von f bezüglich der Basis B .
Aufgabe P 28.
Gegeben sind die Abbildungen
⊺
g1 : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ (x + 2y − 4z, −y + 2z, −x + y − 2z)
⊺
g2 : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ (x2 , xyz, z + 3x − 29y)
g3 : R2 → R3 :
⊺
(x, y) 7→ (5x + 2y, 4y, 3y + 4x)
⊺
⊺
⊺
(a) Welche dieser Abbildungen sind linear?
Geben Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildungen bezüglich der Standardbasis an.
(b) Bestimmen Sie jeweils den Kern der gegebenen Abbildungen, falls sie linear sind.
(c) Welche Dimension haben jeweils Kern und Bild der linearen Abbildungen? Geben Sie das
Bild explizit an.
(d) Begründen Sie, warum die Abbildung g1 ◦ g3 linear ist. Geben Sie auch dafür die Matrixdarstellung E (g1 ◦ g3 )E bezüglich der Standardbasis E an.
Zusatz: Bestimmen Sie auch hiervon Kern und Bild.
Aufgabe P 29.
Gegeben sind die folgenden Matrizen:


0 1
1 −1 0
B := −1 2
A :=
1 1 1
−2 0


1 −1 0
C := 0 2 0
1 0 1
Bestimmen Sie, falls möglich Rechts- sowie Linksinverse der gegebenen Matrizen.
Hinweis: Stellen Sie Gleichungssysteme für die Spalten respektive Zeilen der gesuchten Matrizen
auf und lösen Sie diese simultan.
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7. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 19.

1
0
0
1
1
1
−1
1 

Für α ∈ R ist die Matrix Aα := 
2
−1 0 (1 − α) −1  gegeben.
−1 −1
1
−α2

Es sei ϕα : R4 → R4 : x 7→ Aα x die zugehörige lineare Abbildung.
(a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α den Rang der Matrix Aα .
(b) Bestimmen Sie, falls möglich, die Inverse A−1
α .
(c) Wie hängen dim Kern (ϕα ) und dim Bild (ϕα ) von α ab? Geben Sie Kern (ϕα ) und
Bild (ϕα ) explizit an.
Aufgabe H 20.
Wir betrachten die Liste T : t1 , t2 , t3 der Funktionen
t1 : [0, 2π] → R : x 7→ 1,
t2 : [0, 2π] → R : x →
7 cos(x),
7 sin(x).
t3 : [0, 2π] → R : x →
Diese gehören zum Vektorraum C 1 ([0, 2π]) (vgl. Aufgabe P 25).
Weiter sei D : L (t1 , t2 , t3 ) → L (t1 , t2 , t3 ) : f 7→ f ′ die Abbildung, die einer Funktion ihre
Ableitung zuordnet. Außerdem ist B : t1 , t2 , t3 + t2 gegeben.
(a)
(b)
(c)
(d)
Begründen Sie, warum T eine Basis von L (t1 , t2 , t3 ) ist.
Zeigen Sie, dass B ebenso eine Basis von L (t1 , t2 , t3 ) ist.
Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen T DT , B DT und B DB .
Bestimmen Sie den Kern Kern (D).
Aufgabe H 21.
Gegeben ist ein 3-dim. Vektorraum V mit Skalarprodukt h· | ·i, einer Basis B : b1 , b2 , b3 , sowie
einer Orthonormalbasis F : f1 , f2 , f3 . Die Abbildung ϕ : V → V ist gegeben als eine lineare
Abbildung mit ϕ(b1 ) = b1 + b3 , ϕ(b2 ) = b2 + b3 und ϕ(b3 − b2 ) = −b1 − b3 .
(a)
(b)
(c)
(d)
Begründen Sie, warum ϕ damit bereits eindeutig festgelegt ist.
Geben Sie die Abbildungsmatrix B ϕB an.
Berechnen Sie dim Kern (ϕ), dim Bild (ϕ) und geben Sie Kern und Bild explizit an.
Zeigen Sie: Ist v ∈ V gegeben so gilt für die Koordinaten bezüglich F
⊺
.
v
=
hv
|
f
i
,
h
v
|
f
i
,
h
v
|
f
i
1
2
3
F
Hinweis: Setzen Sie v ∈ V als Linearkombination bezüglich F und vergleichen Sie die
Koeffizienten mit dem Koordinatentupel.
(e) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix F ϕB .
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8. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
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Aufgabe P 30. Reguläre Matrizen
Bestimmen Sie jeweils die Determinante und den Rang der reellen Matrizen





2 1
1 −1 0
5
8 0
 0 1
2 1 ,
C=
B= 0
A =  −4 −5 1  ,
 1 1
0
0 3
−3 −5 0
−1 2
4
2
3
3

−3
−1 

−2 
−1
Welche dieser Matrizen sind regulär? Berechnen Sie – sofern möglich – die Inversen. Bestimmen
Sie weiterhin die Determinante der Inversen sowie die Determinanten von AB und BA.
Aufgabe P 31. Basiswechsel
⊺
⊺
⊺
Gegeben ist der Vektorraum R3 mit der Basis B : (1, 0, −1) , (1, 1, 0) , (0, 1, −1) sowie mit
der Standardbasis E .
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
bezüglich E umrechnet.
E
idB , die Koordinaten bezüglich B in Koordinaten
(b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
bezüglich B umrechnet.
B
idE , die Koordinaten bezüglich E in Koordinaten
Aufgabe P 32.
Eine lineare Abbildung ϕ : R3 → R3 soll die folgenden Bedingungen erfüllen:

  
  


 

−1
0
0
−1
1
1
ϕ  1  =  1  .
ϕ  0  =  1 
ϕ  1  =  0 
0
1
0
0
−1
−1
Bestimmen Sie
E
ϕE .
Aufgabe P 33.
Der Vektorraum R2×2 wird
0
0 1
1 0
,
,
C:
0
0 0
0 0
versehen
0
0
,
1
1
mit den Basen
0 −1
0 1
1 0
1 0
0
.
,
,
,
und D :
1 0
1 0
0 −1
0 1
0
Die Funktionen t1 , t2 , t3 ∈ C 1 ([0, 2π]) sowie die Basen T : t1 , t2 , t3 und B : t1 , t2 , t3 + t2 sind
definiert wie in Aufgabe H 20; dabei war
t1 : [0, 2π] → R : x 7→ 1 ,
t2 : [0, 2π] → R : x 7→ cos(x) ,
t3 : [0, 2π] → R : x 7→ sin(x) .
Weiterhin sei
ϕ: R
2×2
→ L (t1 , t2 , t3 ) :
(a) Bestimmen Sie T ϕC ,
B
ϕC und
B
a b
c d
7→ (a + d)t2 + (c + d)t3 .
ϕD .
(b) Bestimmen Sie Kern und Bild von ϕ. Geben Sie jeweils eine Basis an.
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8. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 22.
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
A=
1 2
3 4

1
0 −2
6
0 −1 
D =  3 −4
0 −1
1
0


92 −113 17
69 39 
C =  −48
44 −44 56


1 −5 2
B =  0 −6 0 
3
0 4


1 2
0
 0 1
5 

E=
 2 1 −6 
1 0 −1

(a) Bestimmen Sie, falls möglich, die Determinaten, Ränge und Inversen der gegebenen Matrizen.
(b) Bestimmen Sie die Determinanten der Matrizen BC , CB , DE und ED .
Aufgabe H 23.
Gegeben ist die folgende Abbildung:



−14 x −21
x
7 det  42 y 56 
s : R3 → R1 :  y  →
7 z 63
z

(a) Zeigen Sie, dass s eine lineare Abbildung ist.
(b) Berechnen Sie Kern (s). Geben Sie eine Basis davon an.
(c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung E sB bezüglich der Standardbasis E und der Basis

 
  
3
−2
0
B :  0  ,  6  ,  −8 
−9
1
1
Aufgabe H 24.
In R3 ist die Basis

   
−1
2
1
B :  0  ,  2  ,  −1 
1
0
1

gegeben. Die Abbildung ϕ soll diejenige lineare Abbildung sein, für die gilt ϕ(b1 ) = b1 − 2b3 ,
ϕ(b2 ) = −b2 und ϕ(b3 ) = b1 + b2 − 2b3 . Mit E ist wie üblich die Standarbasis bezeichnet.
(a) Bestimmen Sie die Matrix
B
ϕB .
(b) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen
(c) Bestimmen Sie
E
B
idE und
E
idB .
ϕE .
(d) Berechnen Sie det(B ϕB ), det(E idB ), det(B idE ), det(E ϕE ).
(e) Beschreiben Sie Kern (ϕ), indem Sie eine Basis davon bestimmen; geben Sie diese in
Koordinanten bezüglich E an.
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9. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
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Aufgabe P 34.
Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal?
√ √ 

2
2
0
−
1 √
B :=
A :=
−√ 2
1
1 
2
2
1
1
√
2
2
0
√ !
2
√
2
C :=
1
2
0
0 −2
!
Aufgabe P 35. Schmidtsches Orthonormierungsverfahren
⊺
⊺
⊺
In R3 sind die Vektoren v1 = (1, 0, −1) , v2 = (1, 1, −1) und v3 = (−1, 2, −2) gegeben.
(a) Konstruieren Sie (mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens) eine Orthonormalbasis F : f1 , f2 , f3 von R3 derart, dass L (f1 ) = L (v1 ), L (f1 , f2 ) = L (v1 , v2 )
und L (f1 , f2 , f3 ) = L (v1 , v2 , v3 ).
(b) Lässt sich mit Hilfe dieses Verfahrens auch eine Orthonormalbasis von R3 konstruieren,
⊺
wenn ve3 = (−1, 2, 1) statt v3 verwendet werden soll?
Aufgabe P 36.
Gegeben ist die affine Abbildung
√ 
√


2
−
2
0
0
√
1
α : R3 → R3 : v 7→ −√ 2 1
1  v +  −5 
2
3
2
1
1
Was ist der lineare Anteil, was ist der Translationsanteil von α?

Untersuchen Sie, ob α eine Affinität ist und ob es sich dabei um eine Bewegung handelt.
Bestimmen Sie, falls α eine eigentliche Bewegung ist, eine Drehung δ und eine Translation τ
so, dass α = τ ◦ δ . Welchen Drehwinkel hat δ in diesem Fall?
Finden Sie alle Fixpunkte der Abbildung δ (also alle Vektoren v mit δ(v) = v ).
Aufgabe P 37.
Es sind die affinen Abbildungen α : R3 → R3 : v 7→ Av + t und β : R3 → R3 : v 7→ Bv + r
durch
 


 


0
3 0 −4
2
1 0
1
r :=  1 
B := 1 2 −1
t :=  0 
A := 1 −1 −1
0
2 1 0
1
0 1
2
gegeben. Weiter ist

 

 
3 1


g := λ  2  +  −2  λ ∈ R


0 −1
eine Gerade.
(a) Untersuchen Sie, welche der Abbildungen α, β Affinitäten sind.
(b) Bestimmen Sie α(g) und β(g). Sind das Geraden?
(c) Berechnen Sie den linearen Anteil und den Translationsanteil von α ◦ β und β ◦ α.
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9. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 25. Schmidtsches Orthonormierungsverfahren
Gegeben sind die Vektoren
⊺
v1 = (1, 1, 1, 1)
⊺
v2 = (1, 0, 3, 0)
⊺
v3 = (2, 2, 4, 0)
⊺
v4 = (8, −2, 6, −4)
(a) Konstruieren Sie mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens eine Orthonormalbasis F : f1 , f2 , f3 , f4 von R4 derart, dass L (f1 ) = L (v1 ), L (f1 , f2 ) = L (v1 , v2 ),
L (f1 , f2 , f3 ) = L (v1 , v2 , v3 ) und L (f1 , f2 , f3 , f4 ) = L (v1 , v2 , v3 , v4 ).
(b) Begründen Sie, warum E idF eine orthogonale Matrix ist (mit E ist wie üblich die Standardbasis des R4 bezeichnet).
Aufgabe H 26. Komposition und Inverse von Bewegungen
Gegeben sind Bewegungen α : Rn → Rn : x 7→ Ax + s und β : Rn → Rn : x 7→ Bx + t. Zeigen
Sie, dass die Komposition β ◦ α ebenfalls eine Bewegung ist.
Zusatz: Ist jede Bewegung invertierbar? Sind die Inversen von Bewegungen wieder Bewegungen?
Aufgabe H 27. Strohstern
In R2 ist die affine Abbildung
1
δ : R2 → R2 : x 7→
2
und die Gerade
g0 =
(
1
2
√ !
1 − 3
x
√
3
1
!
!
)
0 1
+λ
√
λ∈R
3
1 gegeben. Des Weiteren ist δ 0 := id und δ n := δ ◦ δ n−1 für n ∈ N die n-fache Hintereinanderausführung der Abbildung δ .
(a) Zeigen Sie, dass δ n eine Bewegung ist.
Hinweis: Sie können Aufgabe H 26 verwenden.
(b) Finden Sie alle Fixpunkte von δ , das sind Punkte x ∈ R2 , für die gilt δ(x) = x.
(c) Bestimmen Sie die Mengen gn := δ n (g0 ) für n ∈ N0 . Begründen Sie, dass es sich dabei
um Geraden handelt.
Hinweis: Sie werden feststellen, dass g6 = g0 und sogar δ 6 (x) = x für x ∈ g0 .
(d) Begründen Sie damit, dass δ 7 = δ .
Hinweis: Die Abbildung δ ist insbesondere eine lineare Abbildung
(e) Entscheiden Sie, welche der Geraden gn parallel zueinander sind, und welche sich schneiden. Geben Sie alle Schnittpunkte an.
Hinweis: Nutzen Sie die Eigenschaften der Abbildungen δ n sowie sich ergebende Symmetrien aus. Ein Blick auf die nächste Teilaufgabe kann dabei helfen.
(f) Skizzieren Sie die Geraden gn für n ∈ N0 .
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10. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Winter 2008/09
Aufgabe P 38.
Gegeben ist die Matrix A und die Vektoren v1 , . . . , v4 ∈ R3 durch




 




0
2
1
10
3 5
5
0  v2 :=  1  v3 :=  2  v4 :=  2  .
7  v1 := 
A :=  7 1
−2
−2
0
−10
−2 2 −4
Welche der Vektoren v1 , . . . , v4 sind Eigenvektoren? Geben Sie die zugehörigen Eigenwerte an.
Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Aufgabe P 39.
Es ist O := (0, 0, 0) und E = (O; e1 , e2 , e3 ) das in R3 gegebene Standardkoordinatensystem.
⊺
⊺
Durch den Punkt P := (−1, 12 , 4) und die Vektoren f1 := (1, 2, 0) , f2 := (−2, −3, 1) ,
⊺
f3 := (3, −1, 1) ist ein weiteres affines Koordinatensystem F := (P ; f1 , f2 , f3 ) bestimmt.
Außerdem sind die Punkte E1 := (1, 0, 0), E2 := (0, 1, 0) und E3 := (0, 0, 1) gegeben.
(a) Ist F ein kartesisches Koordinatensystem?
(b) Berechnen Sie die Koordinaten F O , F E1 , F E2 , F E3 mit Hilfe der Definition 4.7.4 aus
der Vorlesung.
(c) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation E κF .
(d) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation F κE .
Überprüfen Sie damit Ihr Ergebnis für F O , F E1 , F E2 , F E3 .
Aufgabe P 40.
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
4 1
−11 −7
B :=
A :=
−4 0
14 10
C :=
3
2
−5 −3
(a) Bestimmen Sie für die Matrizen A, B, C jeweils alle reellen Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume.
(b) Bestimmen Sie für die Matrizen A, B, C jeweils alle komplexen Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume.
(c) Entscheiden Sie, ob die Matrizen A, B, C reell beziehungsweise komplex diagonalisierbar
sind. Bestimmen Sie gegebenenfalls Matrizen, mit denen man die jeweilige Matrix in eine
Diagonalmatrix konjugieren kann. Geben Sie letztere auch explizit an.
Aufgabe P 41.
In R3 sind die Punkte P0 = (5, −2, 1), P1 = (6, 1, 4), P2 = (3, −1, 3), P3 = (5, −1, 2) gegeben.
Bestimmen Sie ein Koordinatensystem F so, dass F P0 = ~0, F P1 = e1 , F P2 = e2 , F P3 = e3 . Dabei
ist E : e1 , e2 , e3 die Standardbasis des Vektorraums R3 und E das Standardkoordinatensystem.
Geben Sie die Koordinatentransformationen F κE und E κF an.
Berechnen Sie die Koordinaten E P4 des Punktes F P4 = (2, 1, −3).
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10. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 28.
Bestimmen Sie für

0

0
A=
1
Eigenwerte und Eigenvektoren
die folgenden Matrizen


1
0
1 −1


−1 −2
1
0 , B=
0 −2
0
0

0
1 ,
1

5 −2 −4
8 −2 
C =  −2
−4 −2
5

die reellen sowie die komplexen Eigenwerte und Eigenvektoren. Geben Sie in den diagonalisierbaren Fällen jeweils eine Transformationsmatrix T an, die auf Diagonalgestalt transformiert.
Verwenden Sie diese Transformationsmatrix und die zugehörige Diagonalmatrix, um explizit
B 100 zu berechnen.
Aufgabe H 29.
In R3 sind die affinen Abbildungen σ und δ gegeben durch E σ E : R3 → R3 : E v 7→ A · E v + s
und E δ E : R3 → R3 : E v 7→ B · E v + t, wobei mit E wie üblich das Standardkoordinatensystem
bezeichnet wird und








13
3
5 −2
−8
−3
2 −2
7
2 

1  t := 
5
2 −1  s :=  −4  B := 
3 
A :=  −2
 2 −2
2 
4
2 −1
2
−11
19
−6
−3
2
2
Weiter sei P := (−1, 0, −2).
(a) Bestimmen Sie die charakteristischen Polynome χA (λ) für A und χB (λ) für B .
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix A. Nummerieren Sie dabei
die Eigenwerte so, dass der Eigenwert λ1 negativ ist.
(c) Zeigen Sie: P ist ein Fixpunkt von σ und δ , also σ(P ) = P und δ(P ) = P .
(d) Bestimmen Sie ein Koordinatensystem F = (P ; f1 , f2 , f3 ) folgendermaßen:
Es sei f1 ein Eigenvektor von A zum negativen Eigenwert λ1 . Sie erhalten f2 , indem
Sie einen weiteren geeigneten Eigenvektor von A wählen. Schließlich sei f3 := Bf2 .
Zeigen Sie: f3 ist ebenfalls ein Eigenvektor von A zum Eigenwert von f2 .
(e) Bestimmen Sie die Beschreibung F σ F der Abbildung σ bezüglich F.
Hinweis: Sie können den linearen Anteil und den Translationsanteil von F σ F direkt bestimmen, wenn Sie in Betracht ziehen, wie Punkte, deren F-Koordinaten Standardbasisvektoren sind, sowie der Koordinatenursprung von F abgebildet werden. Dabei helfen die
vorigen Teilaufgaben.
(f) Zeigen Sie: f1 ist ein Eigenvektor von B .
(g) Zeigen Sie, dass Bf3 = −f2 .
(h) Bestimmen Sie F δ F .
Hinweis: Auch hier können linearer Anteil und Translationsanteil direkt bestimmt werden.
(i) Bestimmen Sie F σ ◦ δ F und F δ ◦ σ F .
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11. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
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Aufgabe P 42.
Welche der folgenden Matrizen

4 −1
3
2 −1  ,
B :=  0
1
0
4


1 −2
0
3 −1  ,
A :=  −2
0 −1
2

C :=
1 i
i 1
,
D :=
1 i
−i 1
,
E :=
1
i+1
i−1
1
sind symmetrisch, welche sind hermitesch?
Aufgabe P 43.
Gegeben ist die Menge
Q := x ∈ R3 (x1 − x2 )2 − (x1 + x2 )2 + 2x3 = 0 .
(a) Begründen Sie, dass es sich bei Q um eine Quadrik handelt, indem Sie den quadratischen,
den linearen und den konstanten Teil der Quadrik angeben.
(b) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik und die zugehörige erweiterte Matrix an.
(c) Entscheiden Sie, ob der quadratische Teil der Quadrik positiv definit, negativ definit,
indefinit oder keines davon ist.
(d) Untersuchen Sie, welchen Typ die Quadrik hat, d.h. ob sie eine kegelige, eine parabolische
oder eine Mittelpunktsquadrik ist.
(e) Was erhält man, wenn man Q mit
zur x1 –x2 -Ebene,
zur x2 –x3 -Ebene,
zur x1 –x3 -Ebene,
zu E1 = x ∈ R3 x1 + x2 = 0 sowie
• einer Ebene parallel zu E2 = x ∈ R3 x1 − x2 = 0
•
•
•
•
einer
einer
einer
einer
Ebene
Ebene
Ebene
Ebene
parallel
parallel
parallel
parallel
schneidet? Skizzieren Sie die Schnittfiguren für Ebenen mit verschiedenen Abständen vom
Ursprung (insbesondere auch für Abstand 0).
(f) Verstehen Sie die Geometrie der Quadrik Q anhand einer dreidimensionalen Skizze, die
Sie mit Hilfe der ebenen Schnittfiguren anfertigen.
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11. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 30.
Es seien A1 , . . . , An ∈ Rn×n für n ∈ N symmetrische Matrizen und T ∈ Rn×n orthogonal.
P
(a) Zeigen Sie nk=1 Ak ist ebenfalls eine symmetrische Matrix.
(b) Untersuchen Sie, ob das Produkt A1 · . . . · An eine symmetrische Matrix ist. Begründen
Sie Ihre Antwort durch einen Beweis oder ein konkretes Gegenbeispiel.
(c) Zeigen Sie, die zu A1 konjugierte Matrix T −1 A1 T ist symmetrisch.
Aufgabe H 31.
Gegeben sind die reellen Matrizen
√ 

3
−1 0

0 
A :=
√0 1
3 0
1

−2 0

und B :=
√0 2
− 3 0
√ 
3
0 .
2
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von A und B .
(b) Geben Sie Diagonalmatrizen DA und DB sowie Transformationsmatrizen TA und TB so
an, dass DA = TA−1 A TA und DB = TB−1 B TB .
(c) Untersuchen Sie, ob die Eigenräume von A zueinander paarweise orthogonal sind, sowie
ob die Eigenräume von B zueinander paarweise orthogonal sind.
(d) Bestimmen Sie mit Hilfe des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens ausgehend von
Eigenvektoren von A eine Orthonormalbasis f1 , f2 , f3 sowie ausgehend von Eigenvektoren
von B eine Orthonormalbasis g1 , g2 , g3 .
(e) Sind die Vektoren f1 , f2 , f3 Eigenvektoren von A, sind die Vektoren g1 , g2 , g3 Eigenvektoren von B ?
(f) Lässt sich A mit der Transformationsmatrix
F = f1 f2 f3 und B mit der Trans
formationsmatrix G = g1 g2 g3 diagonalisieren? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe H 32.
Gegeben ist die Quadrik
n
o
⊺
3 2
2
Q := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R x1 + x2 − x2 x3 + 1 = 0
(a) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik an.
(b) Untersuchen Sie, welchen Typ die Quadrik hat.
(c) Bestimmen Sie, welche geometrischen Figuren entstehen, wenn man Q mit Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen schneidet. Skizzieren Sie die Schnittfiguren für verschiedene
Abstände der Schnittebene von der Koordinatenebene.
Hinweis: Durch Auflösen nach geeigneten Variablen oder quadratisches Ergänzen erhalten
Sie aus der Schule bekannte Beschreibungen für Hyperbeln, Parabeln, Ellipsen, etc.
(d) Fertigen Sie mit Hilfe der ebenen Schnitte eine dreidimensionale Skizze an.
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Dr. I. Rybak
S. Poppitz
12. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. N. Knarr
Winter 2008/09
Aufgabe P 44.
Gegeben sei die Quadrik
n
o
√
√
Q = x ∈ R2 5x21 + 8x1 x2 + 5x22 − 20 2x1 − 16 2x2 + 31 = 0 .
(a) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik an.
(b) Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik.
(c) Geben Sie die zugehörige Koordinatentransformation an.
(d) Bestimmen Sie die Gestalt der Quadrik, indem Sie die affine Normalform der Quadrik
auswerten.
(e) Skizzieren Sie die Quadrik in dem Koordinatensystem G, bezüglich dessen sie Normalform
hat, und bezüglich des ursprünglichen Koordinatensystems. Zeichnen Sie in letztere Skizze
auch das Koordinatensystem G ein.
Aufgabe P 45.
In R4 ist die Quadrik



x


1





x
2 
4
2
2
2
2

∈
R
Q= 
−x
−
x
−
x
−
x
−
2x
x
−
2x
x
−
2x
+
4x
+
2x
−
4x
=
0
1 3
2 4
1
2
3
4
1
2
3
4
x3 






x4
gegeben.
(a) Geben Sie die Quadrik in Matrixform an.
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der erweiterten Matrix den Typ der Quadrik.
(c) Bestimmen Sie die euklidische Normalform von Q. Geben Sie die dazu benötigten Koordinatentransformationen explizit an.
(d) Sei F das Koordinatensystem, bezüglich dessen Q euklidische Normalform besitzt. Welche Gestalt haben die Schnitte von Q mit den von jeweils drei Koordinatenachsen von F
aufgespannten Unterräumen?
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12. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 33.
In Abhängigkeit von α ∈ R ist die folgende Quadrik
√
√
x1
(α−3) 2
3(1+α)
2 3α−1 2
x1 x2 + 4 x2 + 3(α − 1)x1 − (α − 1)x2 = 0
Qα =
∈ R 4 x1 −
2
x2
gegeben.
(a) Geben Sie die Quadrik Qα in Matrixform an.
(b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α den Typ der Quadrik, d.h. ob sie kegelig, parabolisch oder eine Mittelpunktsquadrik ist.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Hauptachsentransformation in Abhängigkeit von α die euklidische Normalform der Quadrik Qα . Welche Gestalt hat Qα ?
(d) Skizzieren Sie Qα für α ∈ {−1, 0, 21 , 1, 2} in den Koordinaten, bezüglich derer Qα Normalform besitzt, und in den ursprünglichen Koordinaten.
Aufgabe H 34.
Gegeben sei die Quadrik
Q = x ∈ R3 −23x21 + 25x22 − 2x23 + 72x1 x3 − 30x1 + 50x2 − 40x3 + 75 = 0 .
(a) Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik an.
(b) Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik.
(c) Geben Sie die zugehörige Koordinatentransformation an.
(d) Bestimmen Sie die Gestalt der Quadrik.
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13. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. N. Knarr
Winter 2008/09
Aufgabe P 46.
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz:
µ ¶
³ 1´
¡ ¢
¡
¢
¡ ¢
¡
¢
¡
¢
1
, 5 · (−1)−n n∈N
5 n∈N , 5 · n n∈N ,
5
, 5n n∈N , 5−n n∈N , 5 n
n n∈N
n∈N
Aufgabe P 47.
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit:
¡
¢
(a) n + sin(2 π n) n∈N
¡
¢
(b) n sin( π2 n) n∈N
¡
¢
(c) n1 sin(2 π n + n) n∈N
¡
¢
(d) sin(2 π n − n1 ) n∈N
¡
¢
(e) sin(π n − n1 ) n∈N
Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folgen, sowie Limes superior und Limes inferior der
einzelnen Folgen. Sind die einzelnen Folgen konvergent? Sind sie divergent beziehungsweise
bestimmt divergent? Besitzen sie konvergente Teilfolgen?
Aufgabe P 48.
Um welche Quadriken könnte es sich bei den folgenden Bildern handeln? Geben Sie jeweils den
Typ der Quadrik und eine mögliche euklidische Normalform an.
Aufgabe P 49.
Gegeben sind die komplexen Folgen
¡ n¢
i n∈N
und
¡1
in
n
¢
n∈N
.
Untersuchen Sie, ob die Folgen konvergieren. Untersuchen Sie weiter, ob sie jeweils konvergente
Teilfolgen besitzen.
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13. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 35.
¡ ¢
Eine reelle Folge an n∈N0 ist für q ∈ R rekursiv definiert durch
a0 := 2
und
an+1 := an · (1 + q) für n ∈ N0 .
(a) Geben Sie an in nicht-rekursiver Form an, d.h. bestimmen Sie an so, dass Sie zur Beschreibung nicht auf vorhergehende Folgenglieder zurückgreifen müssen.
(b) Untersuchen Sie die Folge jeweils für q ∈ {1, 0, −1, −2} auf Monotonie und Beschränktheit, geben Sie dabei jeweils obere beziehungsweise untere Schranken an, falls solche
existieren.
(c) Bestimmen Sie für q ∈ {1, 0, −1, −2} jeweils alle Häufungspunkte der Folge und geben
Sie Limes superior und Limes inferior an.
(d) Entscheiden Sie, ob für q ∈ {1, 0, −1, −2} die Folge jeweils konvergiert, divergiert oder
bestimmt divergiert. Geben Sie, wenn möglich, mindestens eine konvergente Teilfolge an.
(e) Bestimmen Sie nun, für welche q ∈ R die Folge konvergiert, für welche sie divergiert und
für welche sie bestimmt divergiert.
Aufgabe H 36. Monotonie und Beschränkheit
Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N jeweils auf Monotonie und Beschränkheit:
n
(a) an =
n+1
µ ¶n
1
(b) an = 1 + −
2
(c) an = (−1)n (2n + 1)
³ πn ´
(d) an = 8 cos
2
Aufgabe H 37. Konvergenz
Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N jeweils auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den
Grenzwert:
√
√
(a) an = n + 4 − n + 2
³π ´
(b) an = (−1)n sin
6
1
(c) an =
2n
(d) an = cos(π(n + 1))
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Dr. I. Rybak
S. Poppitz
14. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. N. Knarr
Winter 2008/09
Aufgabe P 50. Konvergenz und (bestimmte) Divergenz
Gegeben sind die Folgen
(an )n∈N = (2 n)n∈N
2 n3 + 2 n2 + n
(cn )n∈N =
n2 + 1
n∈N
2
−6 n + 42 n − 72
(en )n∈N =
−3 (n + 1)
n∈N
1
(bn )n∈N =
n n∈N
2 n4
(dn )n∈Nr{2} =
−2 n2 + 8 n∈Nr{2}
1
2
(fn )n∈N = n n∈N (gn )n∈N =
(−1)n n2 n∈N
(a) Untersuchen Sie diese Folgen auf Konvergenz, Divergenz und bestimmte Divergenz.
(b) Führen Sie diese Untersuchung ebenfalls durch für die Folgen
(an bn )n∈N
(an gn )n∈N
(dn bn )n∈Nr{2}
(fn gn )n∈N
gn
bn
(an − cn )n∈N
(an − dn )n∈Nr{2}
(an − en )n∈N
gn n∈N
bn n∈N
Begründen Sie mit Hilfe dieser Erkenntnisse, warum es nicht möglich ist, Ausdrücken wie
“ oder 00 “ einen vernünftigen Wert zuzuordnen.
0 · ∞“, ∞ − ∞“, ∞
”
”
”
”∞
Aufgabe P 51. Cauchy-Folgen
Zeigen Sie, dass die Folgen
an =
1
2n + 1
und
bn =
(−1)n
2n + 1
Cauchy-Folgen sind. Geben Sie zu jedem ε > 0 ein nε so an, dass das Cauchy-Kriterium erfüllt
ist.
Hinweis: Es ist hilfreich, wenn sie sich den Verlauf der Folgen, wie zum Beispiel Monotonie
und Beschränktheit, näher betrachten.
Aufgabe P 52.
Finden Sie jeweils Beispiele von Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N reeller Zahlen so, dass (an ) nicht
konvergiert und (bn ) gegen Null konvergiert, während die Produktfolge (an bn )n∈N
(a) unbeschränkt ist,
(b) gegen ein beliebiges c ∈ R konvergiert,
(c) beschränkt ist, aber trotzdem nicht konvergiert.
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14. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 38. Sätze über Konvergenz
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls die
Grenzwerte
2n5
(a) an = 5
n + n4 + n3 + n2 + n + 1
4
5n
(b) bn =
2n + 1
p
(c) cn = n(n + 3) − n
n3 + (−1)n n2
(d) dn =
2n3 + 1
2
n2
n
−
(e) en =
n+1 n+3
(sin n)2
(f) fn =
n
Aufgabe H 39. Babylonisches Wurzelziehen
Für α ≧ 0 wird die Folge (an )n∈N0 rekursiv definiert durch
a0 = α + 1,
an =
an−1 +
2
α
an−1
.
(a) Verifizieren Sie mit vollständiger Induktion, dass alle Folgenglieder positiv sind.
(b) Zeigen√Sie wiederum mit vollständiger Induktion, dass für alle n ≧ 0 die Ungleichung
an ≧ α gilt.
(c) Zeigen Sie, die Folge (an )n∈N0 fällt monoton.
(d) Berechnen Sie den Grenzwert lim an .
n→∞
Hinweis: Begründen Sie zunächst, warum der Grenzwert existieren muss. Nutzen Sie
dann Sätze über Grenzwerte von Folgen aus, um ausgehend von der Rekursionsvorschrift
auf den Grenzwert zu schließen.
Aufgabe H 40.
Untersuchen Sie die folgenden rekursiv definierte Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie
gegebenfalls die Grenzwerte
√
(a) a1 = 0, an+1 = 2 + an , n ∈ N
3
, n∈N
(b) b1 = 2, bn+1 =
4 − bn
(c) c1 = 0, cn+1 = 3cn + 2, n ∈ N
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