10. ¨Ubungsblatt Vektorrechnung in der Ebene

Vorkurs Mathematik für Bau-, Umweltingenieurwesen und Geodäsie
PD Dr. A. Johann
WS 2010/11
Blatt 10
10. Übungsblatt
Hinweise: Es ist nicht notwendig und auch nicht vorgesehen, dass Sie alle hier angegebenen
Aufgaben durchrechnen, dafür sind es zu viele. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben variiert.
Wenn Sie mit einer Aufgabe nicht zurechtkommen, fragen Sie Ihren Tutor oder machen Sie
einfach eine andere.
Vektorrechnung in der Ebene
Aufgabe 10.1 (Vektorrechnung)
Berechnen Sie:
1
2
3
(a)
+
+
2
3
4
17
5 (c) 13 − 18 5
−1
1
(e)
+
, 3·
3
−2
−1
7
5
1
·
−
+2·
5
7
2
1 3
5
·
1 · 2 · 1 − −7
1
245
−245
(f) ,
·
−17
17
245 2
17 1
(b)
2
1
(d)
2
1
0
(g) ∠
,
1
17
Hierbei steht ∠(a, b) für den Winkel zwischen den Vektoren a und b.
Aufgabe 10.2 (Geometrie in der Ebene)
Beweisen Sie
folgenden Aussagen (Tipps auf der Rückseite).
die
x1
a) Sei x =
∈ R2 . Dann stehen x und der Vektor
x2
y=
x2
−x1
senkrecht aufeinander.
b) Sei x ∈ R2 . Dann gilt
k−xk = kxk .
c) Seien a, b ∈ R2 und a 6= b. Dann ist die Gerade durch a und b gegeben durch die Punkte
a + λ(b − a) mit λ ∈ R.
d) Seien a, b ∈ R2 . Dann wird die Verbindungsstrecke von a und b (bzw. der zu den Ortsvektoren
a und b gehörigen Punkte) durch den Punkt 12 (a + b) halbiert.
Aufgabe 10.3 (Ein Dreieck)
Bei dieser Aufgabe können die Ergebnisse von Aufgabe 10.2 nützlich sein (auch ohne Beweis).
a) Im R2 sei das Dreick mit den Eckpunkten
1
1
5
A=
, B=
und
C=
6
−4
2
gegeben. Berechnen Sie die Seitenvektoren
−−→
a = BC,
−→
b = CA
und
−→
c = AB
sowie deren Norm.
b) Berechnen Sie alle drei Innenwinkel des Dreiecks.
−→
−→
c) Berechnen Sie den Schnittwinkel der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten AB und CA.
−→
−→
d*) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Mittelsenkrechten der Seiten AB und CA, sowie
den Abstand von S zu den Eckpunkten des Dreiecks. Tipp: Schnittpunkte von Geraden sind
schon berechnet worden (Blatt 3).
Aufgabe 10.4 (Der Cosinussatz)
Im R2 sei ein Dreieck mit den Eckpunkten u, v, w (Ortsvektoren) gegeben. Beweisen Sie den
Cosinussatz
kv − wk2 = kv − uk2 + kw − uk2 − 2 kv − uk · kw − uk · cos ∠ (v − u, w − u) ,
indem Sie die quadrierte Norm von v − w = (v − u) − (w − u) mittels des Skalarproduktes
ausrechnen. Interpretieren Sie den Cosinussatz geometrisch.
Tipps zu Aufgabe 10.2:
10.2(a) Senkrecht bedeutet, dass das Skalarprodukt Null ist, siehe Vorlesung. 10.2(b) Wie man
eine Gleichung für eine Gerade durch zwei Punkte bekommt, ist bereits bekannt. Die angegebenen
Punkte bilden offensichtlich eine Gerade, es ist also nur noch zu zeigen, dass sie die entsprechende
Geradengleichung erfüllen. 10.2(c) Der Streckenmittelpunkt ist daran zu erkennen, dass er auf der
Verbindungsgerade liegt und von beiden Punkten denselben Abstand hat.