Höhere Mathematik I für Bau, Geo, Umwelt — Blatt 16

T ECHNISCHE U NIVERSITÄT M ÜNCHEN
Z ENTRUM M ATHEMATIK
PD Dr. Andreas Johann
Höhere Mathematik I für Bau, Geo, Umwelt — Blatt 16
Wintersemester 2016/2017
16.1. Es seien vier Punkte durch die folgenden Ortsvektoren gegeben, wobei α ∈ R:








1
0
1
2
 0 
 α 
 1 
 1 .
α
1
α
α+1
(a) Bestimmen Sie α so, daß die vier Punkte in einer Ebene E liegen.
(b) Geben Sie die Hessesche Normalform der Gleichung für E an.


2
(c) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P mit dem Ortsvektor  2  zur Ebene E.
1
(d) Bestimmen Sie den Punkt S der Ebene E, der den kürzesten Abstand zu P hat.
(e) Sei W = Spann(v1 , v2 , ..., vn ). Wie bestimmt man eine Basis des Vektorraums W ?
16.2. Es sei

1
 0
A=
 0
1
1
1
0
0
1
1
1
0

1
1 
.
1 
1
(a) Berechnen Sie det A.
(b) Bestimmen Sie die inverse Matrix A−1 .
(c) Bestimmen Sie det A−1 .
16.3.
(a) In der (x, y)-Ebene seien Punkte durch folgende Ortsvektoren gegeben:
π/4
π/2
π
0
√
.
−1
3
−2
2
Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c ∈ R so, daß die durch den Graphen der Funktion
y = a cos x + b cos(2x) + c cos(3x), x ∈ R gegebene Ausgleichskurve jene Punkte möglichst
gut approximiert.
(b) Unter welchen Voraussetzungen besitzt das lineares Ausgleichsproblem kAx − bk2 → minimal
eine eindeutige Lösung x ∈ Rn , wobei A ∈ R(m,n) und b ∈ Rm gegeben seien?
16.4. Es sei


9
6 −3 −6
 6
3 −2 −5 
.
A=
 −3 −2
1
2 
−6 −5
2
3
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A sowie deren algebraischen Vielfachheiten.
(b) Berechnen Sie alle zugehörigen Eigenvektoren.
(c) Bestimmen Sie eine reguläre Matrix S sowie deren Inverse S −1 , so daß B = S −1 A S Diagonalgestalt
besitzt. Geben sie B an.
(d) Unter welchen Voraussetzungen ist eine Matrix A ∈ R(n,m) reell diagonalisierbar?
(e) Sei A eine reelle Matrix mit komplexem Eigenwert λ ∈ C \ R. Was läßt sich dann über weitere
komplexe Eigenwerte von A aussagen? Begründen Sie Ihre Antwort.
16.5.
(a) Es sei z =
√1 .
i 3−1
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahlen z und z 101 .
(b) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z, für die zugleich gilt
(z 2 − i)(z 3 − 27i) = 0 und |z − 2| = |z + 2|.
(c) Drücken Sie Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z ∈ C durch z und z̄ aus.
16.6.
(a) Diskutieren Sie die durch die Abbildungsvoschrift
f (x) = x 2 ln |x|
gegebene Funktion hinsichtlich der folgenden Aspekte: maximaler Definitionsbereich nach stetiger Ergänzung, Symmetrie, Stetigkeit und (stetige) Differenzierbarkeit bis zur dritten Ableitung,
Nullstellen, Monotonieverhalten, Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte, Asymptoten für
x → ±∞. Skizzieren Sie den Graphen von f .
(b) Zeigen Sie, daß der Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf R, sowie der Raum
der stetigen Funktionen auf R Vektorräume sind, und daß die zweite Ableitung eine lineare Abbildung zwischen diesen ist.
16.7.
(a) Gegeben sei die Abbildung f :] − 1, 1[→ R mit f (x) =
1
.
1+x
i. Bestimmen Sie die Taylorreihe T f von f zum Entwicklungspunkt x0 = 0.
ii. Bestimmen Sie nun mittels Differentiation einer Potenzreihe die Potenzreihe mit der man die
Ableitung f 0 :] − 1, 1[→ R von f darstellen kann. Sie dürfen dabei verwenden dass T f den
Konvergenzradius r = 1 hat und f (x) = T f (x) auf ] − 1, 1[ gilt.
(b) Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen mit dem Quotientenkriterium.
∞
P
k! k
x
i.
5k
ii.
k=1
∞
P
k=1
(−1)k
k 2 +7
xk.