Probeklausur - Mathematisches Institut

Übungen zur Vorlesung
Lineare Algebra für Informatik und Lehramt (GS / MS / FS)
Mathematisches Institut
Universität Leipzig
Moritz Petschick, Agnes Radl
Probeklausur
Aufgabe 1 ((a) 2 Punkte, (b) 3 Punkte)
(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von −253
und 187.
(b) Die Relation R auf R4 sei definiert durch
vRw, falls v und w linear unabhängig sind.
Zeigen oder widerlegen Sie, dass diese Relation
(i) . . . reflexiv ist.
(ii) . . . symmetrisch ist.
(iii) . . . transitiv ist.
Aufgabe 2 ((a) 2 Punkte, (b) 2 Punkte, (c) 2 Punkte)
(a) Stellen Sie die komplexe Zahl z :=
4−(2 i)3
2 i2 + i
in der Form a + b i mit a, b ∈ R dar.
(b) Bestimmen Sie die Polardarstellung von w := −4 i, das heißt, bestimmen Sie r ∈ R, r > 0, und
ϕ ∈ [0, 2π) so, dass w = rei ϕ gilt.
(c) Ordnen Sie die folgenden Mengen bezüglich der Ordnungsrelation ⊆.
(i) A := {z ∈ C : |z + i| ≤ 1}
(ii) B := {z ∈ C : 2|z + i| ≤ 1 oder |z + i| = 1}
(iii) C := {z ∈ C : Im z ≤ 0)}
(iv) D := {z ∈ C : Im z = −1} ∩ {z ∈ C : | Re z| = 21 }
Aufgabe 3 ((a) 4 Punkte, (b) 2 Punkte)
(a) Sei E := {z ∈ C : |z| = 1}. Zeigen Sie, dass (E, ·) eine kommutative Gruppe ist, wobei · die übliche
Multiplikation komplexer Zahlen beschreibt.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie:
Für jedes n ∈ N gilt: Sind V, W Untervektorräume des Rn und gilt dim V ≤ dim W , so ist V ein
Untervektorraum von W .
Aufgabe 4 ((a) 2 Punkte, (b) 2 Punkte)
(a) Welche der folgenden Vorschriften definieren R-lineare Abbildungen? Beweisen oder widerlegen Sie!
 
2
x
−x + 2y
3
2  
(i) f1 : R → R , y 7→
z + 3x
z
x
y
(ii) f2 : R2 → R2 ,
7→
y
2x + 3y
(b) Sei fα : R3 → R3 die durch die darstellende Matrix

2
4
−1 −1
0
1

2α
α2 
2
beschriebene lineare Abbildung. Für welche α ∈ R ist fα injektiv?
1
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Geben Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystem an.
x1
x1
2x1
2x1
+2x2
−x2
−5x2
+4x2
+3x3
+5x3
+4x3
+6x3
+4x4
+3x4
+9x4
+8x4
= 0
= −1
= 1
= 0
Aufgabe 6 ((a) 7 Punkte, (b) 3 Punkte)
(a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix

−1
A :=  3
0

0 3
2 −3
0 2
und geben Sie deren algebraischen Vielfachheiten an. Bestimmen Sie die zugehörigen Eigenräume
und geben Sie die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte an.
(Hinweis zum Weiterrechnen: σ(A) = {2, −1}.)
(b) Geben Sie die zu

1 0
S := 2 1
1 0

−1
1  ∈ R3×3
0
inverse Matrix an.
Aufgabe 7 ((a) 2 Punkte, (b) 3 Punkte)
Sei n ∈ N, n ≥ 2. Sei ek ∈ Rn der Vektor, dessen k-ter Eintrag eine 1 ist und dessen restliche Einträge
alle 0 sind. Sei Sn die Matrix, deren erste Spalte gerade en ist und deren k-te Spalte gerade ek−1 ist für
k = 2, . . . , n, das heißt


0 1
0 ··· 0
 .. . .
.
..
..
.
. .. 
.
.


.
..
Sn = 

 ...
.
1
0


0 · · · · · ·
0 1
1 0 ··· ··· 0
(a) Geben Sie für n = 2, 3, 4 jeweils die Matrix Sn an und berechnen Sie jeweils ihre Determinante.
(b) Geben Sie det Sn in Abhängigkeit von n an und zeigen Sie Ihre Behauptung.
2