Zyklischer Shift und DFT

Aufgaben zu Komplexität von Algorithmen (SS 2010)
Aufgabe 17: Zyklischer Shift und DFT
Eine wichtige Operation (z.B. in der Signalverarbeitung) auf Vektoren, die mit der
Diskreten Fouriertransformaion aufs engste verbunden ist, ist der zyklische (Links-)
Shift:
Sn : Cn → Cn : hx0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 i 7−→ hx1 , x2 , . . . , xn−1 , x0 i
Sn sei die Matrix, die diese lineare Transformation realisiert.
Der `-fache zyklische Shift ist die Operation ist die `-fache Iteration von S:
Sn` : Cn → Cn : hx0 , x1 , x2 , . . . , xn−1 i 7−→ hx` , x`+1 , . . . , xn−1 , x0 , . . . , x`−2 , x`−1 i
und Sn` ist die zugehörige Transformationsmatrix.
Ist M irgendeine (n×n)-Matrix, so ist M ·Sn die Matrix, die aus M durch simultanen
(Links-)Shift aller Zeilen von M entsteht, d.h., ist
M = m0 m1 m1 . . . mn−1
mit den Spaltenvektoren m0 , m1 , m2 , . . . , mn−1 , so ist
M · Sn = m1 m2 m3 . . . mn−1 m0 .
Ist c = hc0 , c1 , . . . , cn−1 i ∈ Cn ein komplexer Vektor der Länge n, so soll ∆(c) =
∆(c0 , c1 , . . . , cn−1 ) die (n×n)-Diagonalmatrix bezeichnen, deren Hauptdiagonalelemente
die Koeffizienten von c (in dieser Reihenfolge) sind.
i
h
Schliesslich sei ωn = e2πi/n die komplexe n-te Einheitswurzel und Vn = ωnj·k
0≤j,k<n
die Matrix der Diskreten Fouriertransformation der Ordnung n.
1. Schreiben Sie die Matrix Sn explizit hin. Wie sieht Sn` aus?
2. Zeigen Sie, dass
Vn · Sn = ∆(ωn0 , ωn1 , . . . ωnn−1 ) · Vn
gilt, also Vn · Sn · Vn−1 = ∆(ωn0 , ωn1 , . . . ωnn−1 ), d.h., die DF Tn diagonalisiert Sn .
3. Auch Vn · Sn` · Vn−1 ist eine Diagonalmatrix für 0 ≤ ` < n. Welche Elemente stehen
in der Hauptdiagonalen?
P
`
4. Eine (n × n)-Matrix M , heisst zirkulante Matrix, wenn M =
0≤`<n a` Sn für
komplexe Zahlen a0 , a1 . . . , an−1 . Offensichtlich diagonalisiert DF Tn jede zirkulante Matrix. Zeigen Sie: die Eigenwerte von M sind die Koeffizienten der DFTransformierten von ha0 , a1 . . . , an−1 i.
5. Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix

1 2 3
6 1 2

5 6 1
M =
4 5 6

3 4 5
2 3 4
7. Juni 2010
4
3
2
1
6
5
5
4
3
2
1
6

6
5

4

3

2
1