Lineare Algebra II Mm/BWM 10. Hausaufgabe Musterlösungen

TU Bergakademie Freiberg
Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Prof. Dr. Martin Sonntag
Dr. Uwe Weber
Freiberg, den 7. Juli 2017
Lineare Algebra II Mm/BWM
10. Hausaufgabe
Musterlösungen
1. Die zur quadratischen Form q(·) bzw. zu deren zugeordneter symmetrischer Bilinearform β(·,P
·) gehörige Matrix B = M (β, B) ist die symmetrische Matrix B = (bij )
mit q(x) = 3i,j=1 bij xi xj , wobei x1 , . . . , x3 die Koordinaten von x bzgl. B sind. Wir


2 2 0
haben offenbar B =  2 4 0 .
0 0 1
Mittels der zugeordneten Matrix können wir auch die zugeordnete symmetrische
Bilinearform ablesen:
β(x, y) =
3
X
bij xi yj = 2x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 4x2 y2 + x3 y3 .
i,j=1
Da für alle x 6= 0 die Beziehung
β(x, x) = x21 + (x1 + 2x2 )2 + x23 > 0
(1)
gilt, ist β (bzw. q) positiv definit.
Unter dem Rang der Bilinearform versteht man den Rang der zugeordneten Matrix:
r(β) = r(B) = 3, da det B = 4 6= 0.
Wir haben
q(x) = x21 + (x1 + 2x2 )2 + x23 = q 0 (ϕ(x))
0
2
2
2
mit der quadratischen
 Form q(x) = x1 + x2 + x3 und der bijektiven linearen
x1

x1 + 2x2 .
Abbildung ϕ(x) =
x3
Damit sind q und q 0 bzw. deren zugeordnete symmetrische Bilinearformen β und
β 0 äquivalent und haben somit auch den gleichen Trägheitsindex.
Die Matrix M (β 0 , B) (bzgl. der kanonischen Basis) ist die Einheitsmatrix, daher
ist der Index von β 0 und somit auch von β gleich 3 (Anzahl Einsen auf der Hauptdiagonale in der Normalform).
1
2. Wegen der Symmetrie von A, B und AB haben wir zunächst AB = (AB)T =
B T AT = BA. Dann ist auch (BA)T = AT B T = AB = BA.
Zur positiven Definitheit: Für x ∈ Mn,1 (R) \ {0} ist
hBAx, xi = Ax, B T x = x, AT B T x
= hx, ABxi = hABx, xi > 0.
3. AT A ist symmetrisch, da (AT A)T = AT (AT )T = AT A.
Zur positiven Semidefinitheit: Für x ∈ Mn,1 (R) ist
T
A Ax, x = hAx, Axi ≥ 0.
4. Sei λ EW von A und x zugehöriger EV, d. h. Ax = λx. Daraus folgt
A2 x = A(Ax) = A(λx) = λAx = λ2 x, . . . , An x = λn x
und damit
(p(A))x = an An x + . . . + a1 Ax + a0 x = an λn x + . . . + a1 λx + a0 x = p(λ)x,
d. h. p(λ) ist EW von p(A) mit dem EV x. (Man kann zeigen, dass tatsächlich
{µ|µ EW von p(A)} = {p(λ)|λ EW von A} gilt.)
Da also auch x ∈ Up(λ) (p(A)), gilt die Inklusion Uλ (A) ⊆ Up(λ) (p(A)).
0 1
Die Gleichheit der Eigenunterräume gilt nicht immer. Für A =
ist z. B.
0 0
1
λ = 0 einziger EW und Uλ (A) = L
. Hingegen ist A2 die Nullma0
trix mit dem einzigen EW λ = 0, aber der Eigenunterraum dazu ist der gesamte
M2,1 (R).
2