Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2013/2014 27.03.2014 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrikelnummer: Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorkurs Mathematik besucht? Ja Nein Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 12 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. 1 10 2 10 3 10 4 15 5 15 6 15 7 15 Summe 90 Note err. Pkt. Aufgabe 1: Aussagenlogik (10 Punkte) Prüfen Sie, ob es sich bei der folgenden Aussage um eine Tautologie, eine Kontradiktion oder eine Kontingenz handelt: (A ∧ B ⇒ C) ⇔ (A ⇒ (B ⇒ C)) 2 Aufgabe 2: Vollständige Induktion (10 Punkte) Gegeben sei die Matrix −1 A= 1 −4 . 3 Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N die Gleichung 1 − 2n −4n An = n 1 + 2n gilt. 3 Aufgabe 3: Konvexe Mengen (10 Punkte) Folgende Teilmengen M1 , M2 , M3 , M4 und M5 des R2 seien gegeben: M1 = {(x, y)|x, y ∈ R, y ≥ x3 } M2 = {(x, y)|x ∈ R+ , y ∈ R, y < √ x} M3 = {(x, y)|x, y ∈ R, y > ex } M4 = {(x, y)|x ∈ [0, π], y ∈ R, y ≤ sin(x)} M5 = {(x, y)|x ∈ [0, π], y ∈ R, y < cos(x)} Skizzieren Sie jede dieser fünf Punktmengen und untersuchen Sie sie auf Konvexität. Begründen Sie jeweils Ihr Ergebnis. 4 Aufgabe 4: Komplexe Zahlen (15 Punkte) 1. Skizzieren Sie folgende Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene. a) {z ∈ C : Re(z) ≥ 3} b) {z ∈ C : 1 ≤ Im(z) ≤ 2 ∧ 1 ≤ Re(z) ≤ 2} c) {z ∈ C : |z| ≤ 1} 2. Geben Sie die komplexe Zahl z, für die z + z = 6 und z − z = −4i gilt, in ihrer algebraischen Darstellung an. 3. Kreuzen Sie für die folgenden Aussagen an, ob sie als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Ein richtig gesetztes Kreuz zählt 1 Punkt, ein falsch oder ein nicht gesetztes Kreuz zählt 0 Punkte. a) Konjugiert komplexe Zahlen verhalten sich bzgl. der Ordinate zueinander spiegelbildlich. b) Die quadratische Gleichung 1 + x2 = 0 besitzt ein konjugiert komplexes Paar als Lösung. c) Der Betrag einer komplexen Zahl z entspricht stets dem Betrag der zu ihr konjugiert komplexen Zahl z. d) Es gilt a + bi > a − bi für alle a, b ∈ R. e) Die Eulersche Identität hat einen Schönheitswettbewerb gewonnen. a) b) Wahr Falsch 5 c) d) e) Aufgabe 4: Komplexe Zahlen (15 Punkte) 6 Aufgabe 5: Inverse Matrizen (15 Punkte) Gegeben sei die Matrix −1 −3 −2 A = −4 2 5 −1 −2 −1 . a) Bestimmen Sie die Inverse A−1 der Matrix A. −1 b) Berechnen Sie AT und (10A)−1 . c) Bestimmen Sie den Rang von A. 7 Aufgabe 5: Inverse Matrizen (15 Punkte) 8 Aufgabe 6: Lineares Gleichungssystem (15 Punkte) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 3x1 − 2x2 + 2x3 = 10 4x1 + 2x2 − 3x3 = 1 2x1 − 3x2 + 2x3 = 7 unter ausschließlicher Verwendung der Cramerschen Regel. 9 Aufgabe 6: Lineares Gleichungssystem (15 Punkte) 10 Aufgabe 7: Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte) Gegeben sei die Matrix A= 2 −3 1 3 2 −4 3 1 −5 sowie ihr charakteristisches Polynom PA (λ) = −λ3 − λ2 + 2λ. a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A. b) Bestimmen Sie zum kleinsten Eigenwert alle zugehörigen Eigenvektoren. c) Sind die Spaltenvektoren von A linear abhängig? Begründen Sie Ihre Antwort kurz. 11 Aufgabe 7: Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte) 12