2. Klausur Wintersemester 2013/2014 27.03.2014

Mathematik für Betriebswirte I
(Lineare Algebra)
2. Klausur
Wintersemester 2013/2014
27.03.2014
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorkurs Mathematik besucht?
Ja
Nein
Unterschrift der/des Studierenden:
Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 12 Seiten.
Bemerkungen:
Aufgabe
max. Pkt.
1
10
2
10
3
10
4
15
5
15
6
15
7
15
Summe
90
Note
err. Pkt.
Aufgabe 1: Aussagenlogik (10 Punkte)
Prüfen Sie, ob es sich bei der folgenden Aussage um eine Tautologie, eine Kontradiktion oder eine Kontingenz handelt:
(A ∧ B ⇒ C) ⇔ (A ⇒ (B ⇒ C))
2
Aufgabe 2: Vollständige Induktion (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

−1
A=
1

−4
.
3
Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N die Gleichung


1
−
2n
−4n

An = 
n
1 + 2n
gilt.
3
Aufgabe 3: Konvexe Mengen (10 Punkte)
Folgende Teilmengen M1 , M2 , M3 , M4 und M5 des R2 seien gegeben:
M1 = {(x, y)|x, y ∈ R, y ≥ x3 }
M2 = {(x, y)|x ∈ R+ , y ∈ R, y <
√
x}
M3 = {(x, y)|x, y ∈ R, y > ex }
M4 = {(x, y)|x ∈ [0, π], y ∈ R, y ≤ sin(x)}
M5 = {(x, y)|x ∈ [0, π], y ∈ R, y < cos(x)}
Skizzieren Sie jede dieser fünf Punktmengen und untersuchen Sie sie auf Konvexität. Begründen Sie jeweils Ihr Ergebnis.
4
Aufgabe 4: Komplexe Zahlen (15 Punkte)
1. Skizzieren Sie folgende Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene.
a) {z ∈ C : Re(z) ≥ 3}
b) {z ∈ C : 1 ≤ Im(z) ≤ 2 ∧ 1 ≤ Re(z) ≤ 2}
c) {z ∈ C : |z| ≤ 1}
2. Geben Sie die komplexe Zahl z, für die
z + z = 6 und
z − z = −4i
gilt, in ihrer algebraischen Darstellung an.
3. Kreuzen Sie für die folgenden Aussagen an, ob sie als wahr oder falsch zu
beurteilen sind. Ein richtig gesetztes Kreuz zählt 1 Punkt, ein falsch oder
ein nicht gesetztes Kreuz zählt 0 Punkte.
a) Konjugiert komplexe Zahlen verhalten sich bzgl. der Ordinate zueinander spiegelbildlich.
b) Die quadratische Gleichung 1 + x2 = 0 besitzt ein konjugiert komplexes Paar als Lösung.
c) Der Betrag einer komplexen Zahl z entspricht stets dem Betrag der
zu ihr konjugiert komplexen Zahl z.
d) Es gilt a + bi > a − bi für alle a, b ∈ R.
e) Die Eulersche Identität hat einen Schönheitswettbewerb gewonnen.
a)
b)
Wahr
Falsch
5
c)
d)
e)
Aufgabe 4: Komplexe Zahlen (15 Punkte)
6
Aufgabe 5: Inverse Matrizen (15 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

−1 −3 −2


A =  −4
2
5

−1 −2 −1



.

a) Bestimmen Sie die Inverse A−1 der Matrix A.
−1
b) Berechnen Sie AT
und (10A)−1 .
c) Bestimmen Sie den Rang von A.
7
Aufgabe 5: Inverse Matrizen (15 Punkte)
8
Aufgabe 6: Lineares Gleichungssystem (15 Punkte)
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
3x1 − 2x2 + 2x3 = 10
4x1 + 2x2 − 3x3 = 1
2x1 − 3x2 + 2x3 = 7
unter ausschließlicher Verwendung der Cramerschen Regel.
9
Aufgabe 6: Lineares Gleichungssystem (15 Punkte)
10
Aufgabe 7: Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte)
Gegeben sei die Matrix



A=

2
−3
1



3 

2 −4
3
1
−5
sowie ihr charakteristisches Polynom
PA (λ) = −λ3 − λ2 + 2λ.
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A.
b) Bestimmen Sie zum kleinsten Eigenwert alle zugehörigen Eigenvektoren.
c) Sind die Spaltenvektoren von A linear abhängig? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
11
Aufgabe 7: Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte)
12