Präsenzübung - Universität zu Köln

Institut für Theoretische Physik
Universität zu Köln
Prof. Dr. A. Rosch
J. Lux
TPII (Quantenmechanik) — Präsenzübung
Sommersemester 2016
http://www.thp.uni-koeln.de/~lux/QMSS16/
1. Halbachsen einer Ellipse
Eine Ellipse in der zwei-dimensionalen (x, y) Ebene sei definiert durch ~rT M~r = 1, wobei ~rT =
(x, y) und
2 1
M=
.
(1)
1 2
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix M . Konstruieren Sie die Basistransformationsmatrix T , welche die Matrix M diagonalisiert:
m1 0
M =T
T −1 .
(2)
0 m2
Zeigen Sie mit Hilfe der Basistransformation ~r̃ = T −1~r und ~r̃T = (x̃, ỹ), dass die Bestimmungsgleichung der Ellipse im neuen Koordinatensystem folgende Form annimmt:
x̃2 ỹ 2
+ 2 = 1.
a2
b
(3)
a und b legen die Länge der Haupt- und Nebenachse fest. Bestimmen Sie a und b aus den
Eigenwerten m1 und m2 . Zeichnen Sie die Ellipse in den ursprünglichen (x, y) Koordinaten.
2. Komplexe Matrixfunktion
Betrachten Sie die Matrix
H = ~Ω
cos φ −i sin φ
i sin φ
cos φ
.
(4)
Bestimmen Sie die Eigenwerte εn und die dazugehörigen (komplexen) Eigenvektoren Ψn mit
n = 1, 2. Orthonormieren Sie die Eigenvektoren, so dass gilt:
Ψ†n Ψm = δnm und Ψ†n = (ΨTn )∗ .
(5)
Benutzen Sie die Eigenvektoren um die Basistransformationsmatrix T zu konstruieren, welche
die Matrix H diagonalisiert:
ε1 0
H=T
T −1 .
(6)
0 ε2
1
3. Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen
Betrachten Sie die Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen mit Masse m in einer Dimension
i~
∂
~2 ∂ 2
Ψ(x, t).
Ψ(x, t) = −
∂t
2m ∂x2
(7)
Separieren Sie die Abhängigkeit von den Variablen x und t durch einen Produktansatz
Ψ(x, t) = φ(x) χ(t).
(8)
Machen Sie einen Ansatz χ(t) = e−iωt für die Zeitentwicklung, und leiten Sie die stationäre
(=zeitunabhängige) Schrödinger Gleichung für φ(x) her:
−
~2 ∂ 2
φ(x) = ~ω φ(x).
2m ∂x2
(9)
Lösen Sie Gl. (9) durch einen geeigneten Ansatz, φp (x) = eipx , und bestimmen Sie ω(p), sodass
−
~2 ∂ 2
φp (x) = ~ω(p) φp (x).
2m ∂x2
(10)
Da Gl. (7) linear ist, ist die Superposition (=Summe) zweier Lösungen auch eine Lösung. Bestimmen Sie die allgemeinste Lösung von Gl. (7).
4. Photoelektrischer Effekt
Strahlt Licht der Frequenz ω auf einen Festkörper, so werden nur Elektronen aus dem Material
herausgelöst falls die Frequenz eine Schwelle ωs überschreitet. Ist die Frequenz groß genug, d. h.
ω > ωs , so wird dieser Effekt auch für kleine Lichtintensitäten beobachtet.
Diskutieren Sie warum diese Beobachtung der klassischen Vorstellung von Licht als Wellenphänomen widerspricht. A. Einstein erkannte in den experimentellen Beobachtungen den Teilchencharakter: Licht der Frequenz ω besteht aus Energiequanten, Photonen, mit der Energie ~ω.
Diskutieren Sie die kinetische Energie der herausgeschlagenen Elektronen als Funktion von ω
unter der Berücksichtigung, dass eine Austrittsarbeit EA = ~ωs notwendig ist, um Elektronen
aus dem Material zu lösen.
2