Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur

Mathematik für Betriebswirte I
(Lineare Algebra)
2. Klausur
Wintersemester 2015/2016
21.03.2016
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorkurs Mathematik besucht?
Ja
Nein
Unterschrift der/des Studierenden:
Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 14 Seiten.
Bemerkungen:
Aufgabe
max. Pkt.
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
Summe
90
Note
err. Pkt.
Aufgabe 1: Vollständige Induktion (10 Punkte)
Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N die Gleichung
n
X
i=1
1
n
=
i(i + 1)
n+1
gilt.
2
Aufgabe 2: Mengenlehre - Aussagenlogik (10 Punkte)
Aufgabe 2.1.
Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck soweit wie möglich:
(A ∩ B) ∩ A ∩ B
Nehmen Sie die folgende De Morgan’sche Regel zur Hilfe: A ∪ B = A ∩ B und
A∩B =A∪B
Aufgabe 2.2.
Prüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob es sich bei der folgenden Aussage
(A ∧ B) ∧ ((¬A) ∨ (¬B))
um eine Tautologie, eine Kontradiktion oder eine Kontingenz handelt.
3
(1)
Aufgabe 3: Komplexe Zahlen (10 Punkte)
Aufgabe 3.1.
Gegeben sei die komplexe Zahl
z=
√
1
3
+
i
2
2
in algebraischer Form. Geben Sie z in trigonometrischer und exponentieller Darstellung an.
Aufgabe 3.2.
Bestimmen Sie alle reellen und komplexen Lösungen der folgenden Gleichung:
19
2
+ 4i = 0
−2z + (8 + 2i)z −
2
4
5
Aufgabe 4: Konvexe Mengen (10 Punkte)
Folgende Teilmengen M1 , M2 ,M3 und M4 des R2 seien gegeben:
M1 = {(x, y)|x, y ∈ R, y = −4x2 + 4}
M2 = {(x, y)|x, y ∈ R, y < −4x2 + 4}
M3 = {(x, y)|x, y ∈ R, y > −4x2 + 4}
M4 = {(x, y)|x, y ∈ R, y < −|x|}
Skizzieren Sie jede dieser vier Punktmengen und untersuchen Sie sie auf Konvexität. Begründen Sie jeweils Ihr Ergebnis.
6
Aufgabe 5: Lineare Unterräume (10 Punkte)
Prüfen Sie folgende Mengen auf Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation. Bestimmen Sie, ob es sich bei den Mengen um reelle Vektorräume
handelt.

 



 x1 


 
 
M1 = x2 x1 , x2 , x3 ∈ R, x1 − x2 = 0 ∧ x1 + x3 = 0

 





 x 3

   




−1
0



   
   
M2 = −3 , λ −3 mitλ ∈ R


   





 2
2
7
Aufgabe 6: Rang und Inverse einer Matrix (10 Punkte)
Gegeben seien die Matrizen


0 c+1 0




A= 1
c
0 ,c ∈ R


c
0
1

3


B= 8

1
0
1
−3
1



a  , a ∈ R.

2
a) Für welches c ∈ R ist die Matrix A singulär?
b) Für welches a ∈ R ist die Matrix B invertierbar?
c) Bestimmen Sie für a = 2 die inverse Matrix B−1 der Matrix B.
8
9
Aufgabe 7: Orthogonale Matrizen (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

A = a
6
−8
c
6


mit a, c ∈ R.
Für welche a und c ist die Matrix A orthogonal?
10
Aufgabe 8: Lineares Gleichungssystem (10 Punkte)
Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:
2x1
+3x2
+x3
=
0
x1
−x2
+2x3
=
1
3x1
+4x2
+2ax3
=
b
a) Für welche Kombinationen von a,b ∈ R besitzt das Lineare Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen?
b) Bestimmen Sie für a = 1 und b = 1 die Lösungsmenge des Linearen
Gleichungssystems.
11
12
Aufgabe 9: Eigenwerte und Eigenvektoren (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix A mit

3


A= 0

0
0
1
2
2



c 

2c
mit c ∈ R.
a) Zeigen Sie, dass für das charakteristische Polynom der Matrix A
PA (λ) = λ(3 − λ)(λ − 2c − 1)
gilt.
b) Bestimmen Sie für c = 2 die Eigenwerte der Matrix A. Berechnen Sie zum
größten Eigenwert alle Eigenvektoren.
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