technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , M ICHAEL P R ÄHOFER
Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 2003/2004)
— Aufgabenblatt 12 (23. Januar 2004) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 69. Lösungsmittel.
Es sei A ∈ Rn×m und b ∈ Rn . Welche der folgenden Bedingungen sind hinreichend dafür, dass das lineare Gleichungssystem Ax = b mindestens eine Lösung besitzt?
A ist invertierbar.
A ist die Einheitsmatrix.
n > m.
rang(A) = rang(A, b).
Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
n = m.
b = 0.
n < m und rang(A) = n.
Aufgabe 70. Matrizenrechnung.
Es seien A, B, C ∈ R3×3 drei reelle (3 × 3)-Matrizen. Es gelte A · B = C. Ersetzen Sie in der folgenden Gleichung
die Variablen durch Zahlen:
 
 


2 b12 1
2 −3 c13
a11
2
3
 a21
1
3  ·  0 b22 2  =  4 −3 c23  .
0 b32 2
a31 −1 −2
0
0 c33
Aufgabe 71. Alles dreht sich.
1.) Bestimmen Sie die Matrix D1 ∈ R3×3 , die eine Drehung um den Punkt P = (2, 1) mit dem Winkel
schreibt.
π
3
be-
2.) Bestimmen Sie die Matrix Dx (die Matrix Dy , die Matrix Dz ) in R3×3 , die eine Drehung in R3 mit dem Winkel
ϕ um die x-Achse (um die y-Achse, um die z-Achse) beschreibt.
3.) Bestimmen Sie die Matrix D2 , die eine Drehung in R3 um die Winkelhalbierende der xy-Ebene mit dem Winkel
ϕ beschreibt.
— Hausaufgaben —
Aufgabe 72. TUM, HM-INF und GGT, KGV, LGS, ach oh weh. . .
Gegeben seien die linearen Gleichungssysteme
 

 x1


1 −1 0
0
1
3
x2 
 1
  

1 0 −3
0 
 x3  =  6  ,
a) 
b)


 2 −1 0


1 −1
5 
x4 
−1
2 0 −2 −5
−1
x5
2+i
1
i
0
 
y
1  1
1
y2 =
−i
1
y3
mit x1 , . . . , x5 ∈ R und y1 , . . . , y3 ∈ C. Geben Sie die Lösungsmengen der obigen Gleichungssysteme an.
Aufgabe 73. Spieglein, Spieglein — ja und dann?
Gegeben sei das Dreieck 4P QR durch die drei Punkte P = (5, 1), Q = (10, 2) und R = (9, 7).
a.) Bestimmen Sie die Matrix S1 , die eine Spiegelung an der Geraden g1 durch den Ursprung und den Punkt
G1 = (2, 3) beschreibt. Berechnen Sie anschliessend das Bild von 4P QR unter dieser Abbildung.
b.) Bestimmen Sie die Matrix S2 , die eine Spiegelung an der Geraden g2 durch die beiden Punkte G2 = (15, 5)
und G3 = (9, 11) beschreibt. Berechnen Sie anschliessend das Bild von 4P QR unter dieser Abbildung.
c.) Zeichnen Sie das Dreieck 4P QR, die Geraden g1 und g2 sowie die gespiegelten Dreiecke in ein Koordinatensystem.
d.) Gegeben sei im R2 für den Winkel ϕ ∈ R die Gerade
cos ϕ
gϕ = λ
|λ ∈ R .
sin ϕ
Sei sϕ : R2 → R2 die Spiegelung an gϕ . Bestimmen Sie die zu sϕ gehörige Matrix Sϕ .
e.) Zeigen Sie, daß für zwei Winkel ϕ, ψ die Komposition der Spiegelungen sϕ ◦ sψ eine Drehung ist.
Aufgabe 74. Rundungs-Probleme.
Jeder hat so seine Rundungsprobleme. Obelix macht es sicher nichts aus, wenn er ein ε mehr auf die Waage bringt.
Bei einem linearen Gleichungssystem läuft dann evtl. jedoch nicht mehr alles so rund:
Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystem Ax = bε , x ∈ R4 , ε ∈ R mit




1 10
5 −1
15 + ε
 0 −1


7
9 
 , bε = 15 + ε
A=
 4


5 10
7
26 + ε
10
1
4
0
15 + ε
Was fällt auf, wenn sie die Fälle ε = 0 ,
ε=
1
10
und ε = 1 betrachten?
Abgabe der Hausaufgaben:
am Freitag, 30. Januar 2003, nach der Vorlesung (im HS 1)