Übungen zu MAPLE (W. Büttner)

Übungen zu MAPLE (W. Büttner)
28) Gegeben sind
 1  3  7


A  2
0  2 ,
 7  2 0 


1 12 
 9


B  6
2
0 ,
8  7 8 




 4 
 
b  2 .
  2
 


Es soll der Vektor x aus A x b und es soll die Matrix X aus A X  B
berechnet werden.
Falls die Matrix A regulär ist (d.h. quadratisch mit det( A)  0 ), dann erhält
man in beiden Fällen mit Hilfe der Inversen A1 eindeutige Lösungen,
nämlich:


x  A1 b
X  A 1 B .
und
(*)
a) Zeigen Sie, dass det( A)  0 ist.
b) Berechnen Sie die Matrix A 1.

c) Berechnen Sie den Vektor x und die Matrix X aus (*).
Ergebnisse:
 0
 
x  1 ,
  1
 

 0 1 0 


X   4 0  4
 3 0 0 

.
29) Gegeben sind
1

2
1
B
4
1

4

1
2
1

3
2

1 

3
 ,
4
7 

4 
 1    4
 
 
c1    1 , c2   0  .
 2
 2
 
 


Berechnen Sie alle Lösungen x (soweit sie existieren)




a) zum Gleichungssystem
B x  c1
b) zum Gleichungssystem
B x  c2 .
Zusatzaufgabe nur für Studierende der Elektrotechnik:
Z8) In folgendem Widerstandsnetzwerk seien die Gleichspannungen und
Widerstände gegeben durch:
U1  100 V ; U 2  500 V ; U 3  300 V
R1  15 ; R2  40 ; R3  80 ; R4  25 ;
R5  100 .
a) Stellen Sie mit Hilfe der Maschengleichungen ein lineares Gleichungssystem für die Stromstärken I1 , I 2 , I 3 auf.


b) Das lin. Gleichungssystem läßt sich in der Form R I  U mit der
Widerstandsmatrix R und den Vektoren
 I    U1 
  1
 
I   I 2  , U  U 2 
U 
I 
 3
 3
schreiben.
Erzeugen Sie mit Maple die Matrix R aus dem Gleichungssystem.
c) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem und geben Sie die Stromstärken
mit 3 signifikanten Stellen aus.
Ergebnis: I1  10,2 A; I 2  16,8 A; I 3  7,48 A.
d) Berechnen Sie aus der Matrix R die Leitwertmatrix G  R 1 und geben
Sie diese in den Einheiten 10 3  1 und 3 signifikanten Stellen aus.
Ergebnis:
 15,7 12,6 7,65 


Y   12,6 26,2 8,11  * 10  3  1
 7,65 8,11 8,85 


Zusatzaufgabe für Studenten/innen, welche das Gauß-Jordan-Verfahren bereits
beherrschen und dieses mit MAPLE üben wollen:

Z9) Gegeben seien die Matrix A und der Vektor b . Beide enthalten den reellen
Parameter u:
2
 u 1 1    u 


A  1 u 1, b   u  .
 
1 1 u
1


 


Bringen Sie das Gleichungssystem A x b mit Pivot(…) schrittweise zur
Gauß-Jordan-Endform und stellen Sie hierbei fest, für welche Werte von u
das Gleichungssystem

a) genau eine Lösung x

b) unendlich viele Lösungen x
c) keine Lösung hat
Bestimmen Sie alle Lösungen im Fall a) und b).