II-Blatt5WS02 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Prof. Dr. H. Rommelfanger
MATHEMATIK II FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
5. Übungsblatt
WS 2002/2003
A.
Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
Entscheiden Sie durch Ankreuzen, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen der Form
Ax = b, wobei A eine mn-Matrix, x ein n-Tupel und b ein m-Tupel ist.
wahr
a. Notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Lösung
ist, dass m = n gilt.
b. Ist Rang (A) < Rang (A, b), dann hat das Gleichungssystem
keine Lösung.
c. Ein Gleichungssystem kann nur dann mehr als eine Lösung
besitzen, wenn m < n gilt.
d. Sind alle Zeilen und Spalten einer quadratischen Matrix
linear unabhängig, so existiert die Inverse dieser Matrix.
e. Ein linear unabhängiges Gleichungssystem besitzt stets
eine Lösung.
f. Ein Gleichungssystem der Form Ax = 0 mit m = n linear
unabhängigen Gleichungen besitzt die triviale Lösung x = 0
als einzige Lösung.
g. Ein homogenes, linear abhängiges Gleichungssystem
besitzt neben der Triviallösung x = 0 genau eine weitere
Lösung x  0.
h. Ist det A  0, so besitzt jedes Gleichungssystem Ax = b
eine Lösung.
i. Der Rang einer Matrix ist nie kleiner als m.
j. Die Spaltenvektoren einer regulären Matrix mit m = n
bilden eine Basis des Rn.
k. Vektoren sind nur dann linear abhängig, wenn sich jeder
Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren
darstellen lässt.
l. Die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix
ist stets gleich der Maximalzahl ihrer linear unabhängigen
Zeilen.
Falsch
2
2.
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem C  x = b mit
5 1  2 
 2


C= 2 0 4
und b =  4


 
 6 3  18
 6
mittels der Inversen der Matrix C.
3.
Gegeben sind die Matrizen
 2 0
- 3 1 
 7 4
, B = 
, C = 
.
A
 2 3
 1 - 2
 - 2 - 1
Lösen Sie die nachstehenden Matrizengleichungen
a. 2B + C + AD = E
b. 2A - (A - B)D = E - CD
zunächst allgemein nach D auf und bestimmen Sie dann mit den oben gegebenen
Matrizenelementen die Matrix D. Dabei ist E die 22-Einheitenmatrix.
Lösungshinweis:
4.
 0  5
;
a. 
0 2 
  14 5 
.
b. 19 
  1 10
In einer Volkswirtschaft gebe es 3 produzierende Sektoren A, B, C, die jeweils nur ein
Produkt herstellen. Die Lieferungen der Sektoren untereinander und an den Endverbrauch sind
in der folgenden Input-Output-Tabelle zusammengestellt:
von Sektor
A
B
C
A
Lieferung an den Sektor
B
Endnachfrage
C
120
80
0
36
264
60
70
180
200
174
76
240
a. Berechnen Sie den Gesamtoutput jedes Sektors.
b. Berechnen Sie die Matrix P der relativen Input-Output-Koeffizienten.
c. Wie groß muss der Gesamtoutput x der Volkswirtschaft sein, damit eine Endnachfrage von
y' = (300, 200, 100) befriedigt werden kann?
(Lösung mittels der Inversen von (E - P) erwünscht !)
Lösungshinweis: x'= (400, 600, 500),
 30 6 14
150 25 50 
 , ( E - P )- 1 = 1  60 210 140 , x' = (550, 740, 290).
1 
P = 100
20
44
36
100 



 0 10 40
 10 35 190
5.
Berechnen Sie den Wert der Determinanten
2 0 1
2 1 3
3 2 1
a. |A| = 0 5 1
b. |B| =
0 4 1
4 3 3
2 6 0
1
3
2
3
indem Sie die Determinante zunächst in eine “Dreiecksdeterminante” umformen und dann
deren Wert berechnen.
Lösungshinweise: a. |A| = -32; b. |B| = -66.
3
6.
Überprüfen Sie mittels der Determinantentheorie, für welche Werte von a die Zeilenvektoren
der Matrix
 a  1 1
A =  0 2 a


 a 7 a
linear abhängig sind!
B.
Weitere Aufgaben für die
Bearbeitung
1
Gegeben ist die Matrix A =  3

2
7.
Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten
3 2
10 4  .
 5 28
Berechnen Sie die Inverse A-1 und bestimmen Sie damit die Lösung des linearen
Gleichungssystems Ax = b mit b' = ( 1, -2, 2).
 150  47  4
 236 


-1
Lösungshinweis: A =  38 12 1 , x =   60  .




  17,5 5,5 0,5
  27,5
8.
Gegeben sind die Matrizen
 1 2
 1 2
, B= 
,
A= 
4
2
  4  1


 3  1
,
C= 
2 5 
 1 0
.
E= 
 0 1
Lösen Sie die Matrizengleichung
3D + A(2D + C) = B(D + 5E)
zunächst allgemein nach D auf und errechnen Sie dann numerisch die Elemente der Matrix D
durch Einsetzen der vorstehend angegebenen Matrizen.
 7 15 
4 .
Lösungshinweis: D  
  15  7
9.
Ein Unternehmen setzt sich aus 3 Betriebsstätten zusammen, wobei jede Betriebsstätte nur ein
Gut herstellt. Die wöchentliche Brutto-Produktion und die wöchentlichen Lieferungen der
Betriebsstätten untereinander sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt; dabei sind
die Güterströme in Geldeinheiten bewertet.
BetriebsStätte
1
2
3
Lieferungen an die Betriebsstätte
1
2
3
80
0
0
8
16
6
8
0
72
zum
Verkauf
BruttoProduktion
100
20
80
a. Wie viel Einheiten der wöchentlichen Brutto-Produktion der einzelnen Betriebsstätten
stehen zum Verkauf y zur Verfügung?
b. Wie lautet die Produktionsmatrix A (Matrix der relativen Input-Output-Koeffizienten)?
c. Für die nächste Woche wird die (Brutto-) Produktion x' = (100, 10, 100) geplant. Wie viel
kann davon verkauft werden?
4
d. Berechnen Sie mit Hilfe der inversen Matrix (E - A)-1 die notwendige Brutto-Produktion
pro Industriezweig
i. damit eine Kaufnachfrage von y' = (10, 10, 10) befriedigt werden kann.
ii. damit doppelt soviel wie bisher (Aufgabenteil a.) abgesetzt werden kann.
iii. wenn lediglich von dem in der Betriebsstätte 2 erzeugten Gut 10 Einheiten abgesetzt
werden sollen.
 5 17,5 5 
 275
175
Lösungshinweise: d. (E - A)-1 =  0 5 0  , i.  50  , iii.  50  .




 
 0 15 10
 250
150
10.
a. Berechnen Sie die Determinanten
2 1 0
3 1
|A| = 3 1  1 , |B| =
,
2 4
2 0 6
3 2 0
|C| = 0 1 7 .
0 0 10
b. Berechnen Sie dann ohne Benutzung der Regel von SARRUS die Determinanten
3 1 0
3 6 1
2  12 1 0
|D| = 2 0 2 , |E| = 1 2 7 , |F| = 3  12 1  1 .
1 1 4
2 4 20
20 0 6
Lösungshinweise: |A| = -8, |B| = 14, |C| = 30, |D| = 0, |E| = 0, |F| = -8.
11.
Bestimmen Sie den Wert der Determinanten
0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0
1 0 1 1 2 1
a. |A| =
b. |B| =
1 0 1 3 1 0
1 1 2 1 1 1
0 0 1 0 1 1
Lösungshinweise: a. |A| = 1;
5
2
0
3
0
8
4
8
4
0
0 1 0
1 0 4
0 3 2
4 1 2
3 2 4
b. |B| = 4184.
Frohe Weihnachten und
einen guten Rutsch ins
Jahr 2003 wünschen
Ihnen Prof.
Rommelfanger
und sein Team.