Numerik II – 11. ¨Ubungsblatt Aufgabe 36: Bringen Sie die Matrix A

M ATHEMATISCHES I NSTITUT
P ROF. D R . C HRISTIANE H ELZEL
PAWEL B UCHM ÜLLER
15. J ANUAR 2015
Numerik II – 11. Übungsblatt
Aufgabe 36:
Bringen Sie die Matrix

−3 48 5 1
 1
8 8 4

A=
−24 24 4 2
−12 18 1 2

in Hessenberg-Form.
Aufgabe 37:
Für die Hessenberg-Matrix

2 −5 −13 −25
4 13 29
60 

H=
0 −2 −15 −48
0 0
5
18

berechne man mit der inversen Iteration zwei reelle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren.
Dazu verwende man einmal µ = 2.5, im anderen Fall µ = 7.5 und jeweils v (0) = (1, 0, 0, 0)T . Iterieren
Sie so langen, bis beim Eigenwert mindestens drei wesentliche Stellen unverändert bleiben.
Aufgabe 38:
von A.
Sei A eine symmetrisch tridiagonale n×n Matrix und sei A = QR die QR-Zerlegung
(a) Welche Einträgen von R sind im Allgemeinen 6= 0?
(b) Welche Einträgen von Q sind im Allgemeinen 6= 0?
(c) Zeigen Sie, dass RQ Tridiagonalgestallt hat.
b.w.
Aufgabe 39:
Die Bestimmung der Gewichte und Knoten der Gauss-Quadratur mit n + 1 Knoten
kann als Eigenwertproblem formuliert werden. Betrachten Sie die Matrix


0 β1 0 · · · 0


β1 . . . . . . . . . ... 


−1/2
1


A =  0 . . . . . . . . . 0  , mit βk =
1 − (2k)−2
.


2

 .. . . . . . .
.
.
.
. βn 
0 · · · 0 βn 0
Die Eigenwerte λi diese Matrix sind gerade die Knoten der Gauss-Quadraturformel und die zugehöri2 . Dabei bezeichnet v
gen Gewichte ermittelt man aus 2vi,1
i,1 die erste Komponente des Eigenvektors
Vi zum Eigenwert λi .
Schreiben Sie ein Programm zur Bestimmung der Gewichte und Knoten für n = 3 und n = 4.
(a) Bestimmen sie zunächt die Eigenwerte und Eigenvektoren unter Verwendung von eigs (Matlab).
(b) Verwenden Sie nun den QR-Algorithmus zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren.
Welche Beobachtung machen Sie dabei?
(c) Schreiben Sie ein Matlab-Programm zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren unter Verwendung des QR-Algorithmus mit Wilkinson-Shift und Deflation. Wenden Sie dieses
Programm auf obiges Eigenwertproblem zur Bestimmung der Knoten und Gewichte der GaussQuadraturformel an. Stellen Sie den Fehler als Funktion der Anzahl der Iterationen graphisch
dar.
Abgabe am 22. Januar 2015 am Beginn der Vorlesung.
Besprechung in den Übungen ab 27. Januar 2015.