Mathematik II für inf, swt Blatt G3

Mathematik II
für inf, swt
Blatt G3
Universität Stuttgart
PD Dr. P. H. Lesky
Die G–Aufgaben werden am Dienstag, dem 3. 5. 2005 in den Gruppenübungen besprochen.
Aufgabe G15
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
100 x1 + 99.99 x2 = b1
.
100 x1 +
100 x2 = b2
a) Berechnen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix.
b) Die Werte von b1 , b2 sind nicht genau bekannt. Geben Sie mit Hilfe der Cramerschen
Regel an, in welchem Bereich sich die Lösung (x1 , x2 ) befindet, wenn b1 , b2 ∈ ] 0.9, 1.1 [
vorausgesetzt wird, d. h. eine Abweichung um 10 % von 1 angenommen wird.
c) Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der exakten Lösung für b1 = b2 = 1.
Aufgabe G16
Sei A = (aij ) eine n × n–Matrix. Für die Zeilensummen von A gelte
n
X
aij = 1,
für alle i ∈ {1, . . . , n}.
j=1
Zeigen Sie, dass 1 ein Eigenwert von A ist, indem Sie den zugehörigen Eigenvektor erraten.
Aufgabe G17
Im folgenden sei A jeweils eine Matrix aus Mn,n (C).
a) Zeigen Sie: Sind alle Einträge von A reell und ist λ ∈ C Eigenwert von A, so ist auch λ
Eigenwert von A. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den zu λ und λ gehörigen
Eigenvektoren?
b) Es gelte A4 = . Welche komplexen Zahlen kommen als Eigenwerte von A in Frage?
c) Es gelte A4 − A2 +
= . Kann A reelle Eigenwerte haben?
Aufgabe G18
Geben Sie alle 2 × 2–Matrizen an, die die Eigenvektoren
µ ¶
µ ¶
1
2
besitzen.
und x2 =
x1 =
2
3
Aufgabe S19
(schriftlich, 6 Punkte, Abgabe am 3. 5. 2005 in den Gruppenübungen)
Gegeben sei die von α ∈ R abhängige Matrix


5
0
0
Cα :=  0 4 − α 2 + 2α  .
0 2 + 2α 1 − 4α
a) Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von C0 .
b) Zeigen Sie, dass jeder Eigenvektor von C0 auch Eigenvektor von Cα , für beliebiges
α ∈ R , ist. Bestimmen Sie hiermit die Eigenwerte von Cα .
−→
Aufgabe G20
Gegeben seien die Matrizen


4 6 −6
A :=  3 1 −3 
und
3 3 −5


5 −7 −1
B :=  1 −3 −1  .
6 −6 −2
a) Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenräume der Matrizen A und B.
b) Geben Sie die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte an.
c) Existiert für jede der beiden Matrizen eine Basis aus Eigenvektoren? Wie lautet diese
gegebenenfalls?