Lineare Algebra – ¨Ubungsteil 8

Lineare Algebra – Übungsteil 8
SS 2010
H. Muthsam
106) Die folgende Matrix beschreibt eine Drehung:


109 −12 60
1 
−12 116 45  .
D=
125 −60 −45 100
Bestimmen Sie die Drehachse. (Sie ist Eigenvektor zu welchem Eigenwert?) Ebenso
wären die anderen Eigenwerte und Eigenvektoren zu ermitteln.
107) Es sei
0 2
A=
.
2 3
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren zu A, A2 und A−1 . Was fällt
Ihnen auf?
108) Zeigen Sie: ist A eine n∗n Matrix, α Eigenwert zu A und x zugehöriger Eigenvektor,
so ist x auch Eigenvektor zu Ak (k ∈ N). Wie sieht der entsprechende Eigenwert
zu x aus? Ist A invertierbar, so gilt die Aussage auch für k ∈ Z.
109) Es sei A : X → X linear mit A2 = A. Zeigen Sie, daß nur 0 oder 1 als Eigenwerte
von A in Frage kommen.
110) Zeigen Sie an Hand konkreter Beispiele (2 ∗ 2 Matrizen), daß i.A. Eigenwerte von
AB nicht Produkte von Eigenwerten von A und B sind und Eigenwerte von A + B
nicht derartige Summen. Wie verhält es sich aber, wenn A und B gemeinsame
Eigenvektoren besitzen? Geben Sie für das Verhalten eine Begründung.
111) A sei eine quadratische Matrix, x und y Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten. Zeigen Sie, dass dann x + y kein Eigenvektor ist.
112) Wieder bezeichne A eine quadratische Matrix. 0 sei ein Eigenwert von A. Zeigen
Sie, daß A nicht invertierbar ist. Gilt die Umkehrung auch?
113) Zeigen Sie: ist in einer reellen n ∗ n Matrix die Summe der Elemente jeder Zeile
dieselbe, so hat diese Matrix mindestens einen reellen Eigenwert. Gilt dies auch
bei konstanter Spaltensumme?
114) Welche der vier Aussagen ist richtig (Beweis oder Gegenbeispiel; wir sprechen von
rellen Matrizen):
1
a) Die Summe zweier selbstadjungierter Matrizen ist selbstadjungiert.
b) Das Produkt zweier selbstadjungierter Matrizen ist selbstadjungiert.
c) Die Summe zweier orthogonaler Matrizen ist orthogonal.
d) Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist orthogonal.
115) A sei eine antiselbstadjungierte reelle Matrix. Ist dann A2 antiselbstadjungiert?
Oder vielleicht selbstadjungiert? – Wie verhält es sich bei selbstadjungierten Matrizen mit komplexen Eintragungen?
116) Zeigen Sie: ist A eine symmetrische n ∗ n Matrix und ist Ar = 0 (Nullmatrix) für
ein r ∈ N, so ist schon A = 0.
117) Bestimmen Sie zu


2 −1 1
−1 2 1
1
1 2
∗
eine orthogonale Matrix T , sodaß T AT diagonal ist.
118) Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal?
 2 1 2 

 1 1
1
−2 3
5
3
3
3
1
2
 1 2 −2 ,
−
,
B
=
A =  12
3
5
3
3
3
0 − 13 51
− 23 32 13
1
C=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
− 12
1
2

− 12  .
0
119) Für welche a, b, c, d ∈ R sind die folgenden Matrizen orthogonal?
1 2 

 √1 √1
a
a
3
3
3
3
c √12  .
a)  b 23 c  ,
b)  b
2
√1
d 23
d √1
3
6
6
120) Zeigen Sie, daß für jede orthogonale 3 ∗ 3 Matrix F und u, v ∈ R3 gilt:
(F u) ∧ (F v) = (det F )F (u ∧ v).
121) Zu zeigen: besitzt eine reelle 2 ∗ 2 Matrix orthogonale Eigenvektoren, so ist sie
schon selbstadjungiert.
122) Es sei I = [0, 1]. V := C(I, C) ist der Raum der stetigen Abbildungen von I nach
C. (Eine Abbildung nach C ist genau dann stetig, wenn dies für ihren Real- und
Imaginärteil zutrifft.) V werde mit dem euklidischen inneren Produkt ausgestattet.
– Es sei nun w ∈ V mit |w(t)| = 1∀t. Beweisen Sie, dass dann die Abbildung
Mw : V → V , definiert über Mw (v) := wv (Multiplikation der Funktion v mit w)
unitär ist!
2