"Krankheit"

"Krankheit"
Aufgabe 20 - Abituraufgaben (Reader)
a)
Übergangmatrix in der Reihenfolge krank (k), gesund (g), wieder genesen (wg) und
verstorben (v).
b1)
5 Wochen:
b2)
Matrixeintrag a22:
17% sind nach 5 Wochen immer noch gesund.
b3)
Matrixeintrag a42:
8% der gesunden Menschen sind nach 5 Wochen tod.
c1)
Startvektor mit 1500 Gesunden:
Nach 3 Wochen:
Es gibt etwa 334 Kranke, 515 Gesunde, 583 wieder genesene Personen und 68 Tote.
c2)
Langfristig gesehen wird die Bevölkerung aussterben, da die Toten nicht wieder
lebendig werden, ein gewisser Prozentsatz aber immer stirbt...
„Nachweis“ durch Probe (50, 100 und 300 Wochen):
Nachweis mit Eigen- bzw. Fixvektor:
d1)
Übergangsmatrix B (Reihenfolge K, G und WG)
d2)
Eigenwerte und Eigenvektoren von B:
Eigenwerte:
Eigenvektoren:
d3)
Neuer Startvektor (mit 3 Einträgen):
Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig, d. h. man
kann jeden beliebigen Vektor
(auch den Startvektor d) als sog. Linearkombination aus den Eigenvektoren e1, e2 und
e3 schreiben.
Definieren der Eigenvektoren:
d kann nun mit geeigneten Parameterwerten a,b und c geschrieben werden als:
d=a×e1+b×e2+c×e3
Die Werte für a,b und c bekommt man mit einem Lgs:
Entwicklung nach n Wochen mit Hilfe der Eigenvektoren e1, e2 und e3 und zugehöriger
Eigenwerte {1,0.7,0.1}:
Erstmal 1 Woche:
B×d=B×(a×e1+b×e2+c×e3)=B×(a×e1)+B×(b×e2)+B×(c×e3)=a×(B×e1)+b×(B×e2)+c×(B×
e3)=
[Hier wurde einfach ausmultipliziert und die Faktoren a, b und c sind nach vorne
gesetzt.]
=a×1×e1+b×0.7×e2+c×0.1×e3
Entsprechend gilt für n Wochen:
(B^n)×d=a×1^n×e1+b×0.7^n×e2+c×0.1^n×e3.
Zur Erinnerung nochmal die Eigenvektoren e1 bis e3 von B:
Da von e1 bis e3 nur jeweils die erste Komponente (nämlich die Kranken) interessiert,
ergibt sich für die Kranken nach n Wochen:
a×1^n×0.12 + b×0.7^n×(-0.1961161351) + c×0.1^n×-0.7071067812
Das kann man schließlich als Funktion mit der Variablen n definieren, wenn man auch
die mit dem LGS berechnet.
Werte für a,b und c mit einsetzt:
Graph der Krankenentwicklung
Aufgabe war es, den Zeitpunkt der stärksten Abnahme der Kranken auszurechnen. Das
ist die Wendestelle der
Funktion f.
notw. Bed.: f''(n)=0
hinr. Bed.: f'''(n)≠0
59.27<0,  Tiefpunkt der Steigung.
Also ist die stärkste Abnahme nach 2.065 Wochen, also etwa 2 Wochen erreicht.
d4)
Langfristige Entwicklung:
Der Krankenstand pendelt sich langfristig bei diesem Wert ein.
Zur Info/Erweiterung:
Schnellere Berechnung zu d3) mit Hilfe des rref-Befehls(Gleichungssystem mit
erweiterter Matrix lösen):
Linearkombination des Startvektors mit den Eigenvektoren:
Man erhält die Gleichungen nicht nur für kranke, sondern auch für gesunde und wieder
genesene Personen als
entsprechende Einträge in dem Lösungsvektor.
Kranke:
Gesunde:
Wieder genesene:
Verlauf von g und wg