Wir wünschen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch!

Oliver Goertsches
Wintersemester 2015/2016
Lineare Algebra I: Übungsblatt 11
(Abgabe: 11. und 12. Januar 2016, in den Übungen)
Aufgabe 1 (Schriftlich, 10 Punkte).
Es sei K ∈ {R, C} und {e1 , e2 , e3 } die Standardbasis des K3 . Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte und
Eigenvektoren des Endomorphismus LK : K3 → K3 , der durch
LK (e1 ) = e2 , LK (e2 ) = e3 und LK (e3 ) = e1
festgelegt ist. Ist LK diagonalisierbar? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
Aufgabe 2 (Schriftlich, 10 Punkte).
Es seien L und F zwei diagonalisierbare Endomorphismen auf einem K-Vektorraum V endlicher Dimension, für die L ◦ F = F ◦ L gelte. Zeigen Sie, dass es in diesem Fall eine Basis gibt, deren Elemente sowohl
Eigenvektoren von L als auch Eigenvektoren von F sind.
Aufgabe 3 (Schriftlich, 10 Punkte).
Sei V ein K-Vektorraum und seien für ein n ∈ N≥1 linear unabhängige Vektoren ϕ1 , . . . , ϕn ∈ V ∗
gegeben. Zeigen Sie, dass Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V existieren, sodass für alle i, j ∈ {1, . . . , n} gilt:
ϕi (vj ) = δi,j .
Aufgabe 4 (Schriftlich, 10 Punkte).
Eine lineare Abbildung L : V → V auf einem K-Vektorraum V nennen wir nilpotent, wenn es eine
natürliche Zahl k ≥ 1 gibt, sodass Lk = 0 gilt. Beweisen Sie:
1. Eine nilpotente Abbildung kann nur den Eigenwert 0 besitzen.
2. Ist n ≥ 1, A ∈ M (n, n; K) eine obere Dreiecksmatrix mit verschwindenden Diagonaleinträgen (d. h.
Ai,j = 0 für alle i, j ∈ {1, . . . , n} mit j ≤ i) und B eine Basis eines n-dimensionalen K-Vektorraums
V , so ist die assoziierte lineare Abbildung
LB
A: V → V
nilpotent.
3. Ist L ein nilpotenter Endomorphismus auf einem n-dimensionalen K-Vektorraum V , wobei n ≥ 1,
so gibt es eine Basis B, in welcher die darstellende Matrix von L eine obere Dreiecksmatrix mit
verschwindenden Diagonaleinträgen ist.
Wir wünschen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch!