LA_15_alt
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§15 Lineare Abbildungen
(15.1) Definition: Eine Abbildung f zwischen K-Vektorräumen V
und W ist linear (oder ein Vektorraumhomomorphismus), wenn
für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare s,t aus dem Körper K gilt:
f(sx + ty) = sf(x) + tf(y) .
(15.2) Bemerkungen, Beispiele: 1o Eine lineare Abbildung f ist
insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, sie berücksichtigt
zusätzlich noch die Skalarmultiplikationen.
2o Ein spezielles Beispiel: f : K K , f xy : 2x 5y .
2
3o
f( s k v k ) s k f(v k ) .
Sei f linear. Dann gilt f(0) = 0 und
4o Die Komposition linearer Abbildungen ist linear.
5o Sei f linear und bijektiv. Dann ist die Umkehrabbildung f –1
ebenfalls linear.
Folie 1
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Kapitel III, §15
(15.3) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den KVektorräumen V und W. f heißt
1o Isomorphismus, wenn f bijektiv ist.
2o Epimorphismus, wenn f surjektiv ist.
3o Monomorphismus, wenn f injektiv ist.
4o Endomorphismus, wenn V = W gilt.
5o Automorphismis, wenn V = W gilt, und f bijektiv ist.
(15.4) Lemma: {b1, b2, ... , bn} sei eine Basis von V . Dann wird für
jedes n-Tupel (w1, w2, ... , wn) von Vektoren aus W durch
f(s1b1 + s2b2 + ... + snbn) := s1w1 + s2w2 + ... + snwn
eine lineare Abbildung definiert.
Jede lineare Abbildung von V nach W hat diese Form.
Eine analoge Aussage gilt für unendlichdimensionale Vektorräume V.
(15.5) Lemma: Die Menge Hom(V,W) := {f ist linear Abbildung von
V nach W} ist ein Untervektorraum von KM.
Folie 2
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Kapitel III, §15
(15.6) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den KVektorräumen V und W.
1o Ker f := f –1(0), Kern von f .
2o Im f := f(V), Bild von f .
(15.7) Lemma: Sei f linear, A Teilmenge aus V .
1o Ker f und Im f sind Untervektorräume von V bzw. W .
2o f ist injektiv, genau dann wenn Ker f = {0} .
3o f(Span(A)) = Span(f(A)) .
4o Wenn E Erzeugendensystem von V ist, so ist f(E)
Erzeugendensystem von Im f .
5o A ist linear unabhängig, wenn das für f(A) gilt.
6o f(A) ist linear unabhängig, wenn das für A gilt und wenn f
injektiv ist.
(15.8) Satz: 1o Zwei endlichdimensionale K-Vektorräume sind
genau dann isomorph, wenn sie gleichdimensional sind.
Folie 3
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Kapitel III, §15
2o Jeder endlichdimensionale K-Vektorraum V ist zu einem
Kn isomorph mit n = dim V .
(15.9) Bemerkung: Jeder K-Vektorraum ist isomorph zu K(B) ,
wobei B eine Basis von V ist.
(15.9) Äquivalenzsatz für lineare Abbildungen: Für gleichdimensionale K-Vektorräume V und W von endlicher Dimension sind die folgenden Aussagen für lineare Abbildungen f von V nach W äquivalent:
1o f ist injektiv.
2o f ist surjektiv.
3o f ist bijektiv.
Mehr Information liegt in der Dimensionsformel, die auch für
unendlichdimensionale gültig ist:
(15.10) Satz (Dimensionsformel): Für eine lineare Abbildung f
von V nach W gilt:
dim Ker f + dim Im f = dim V
Folie 4
§15 Lineare Abbildungen
(15.1) Definition: Eine Abbildung f zwischen K-Vektorräumen V
und W ist linear (oder ein Vektorraumhomomorphismus), wenn
für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare s,t aus dem Körper K gilt:
f(sx + ty) = sf(x) + tf(y) .
(15.2) Bemerkungen, Beispiele: 1o Eine lineare Abbildung f ist
insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, sie berücksichtigt
zusätzlich noch die Skalarmultiplikationen.
2o Ein spezielles Beispiel: f : K K , f xy : 2x 5y .
2
3o
f( s k v k ) s k f(v k ) .
Sei f linear. Dann gilt f(0) = 0 und
4o Die Komposition linearer Abbildungen ist linear.
5o Sei f linear und bijektiv. Dann ist die Umkehrabbildung f –1
ebenfalls linear.
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Kapitel III, §15
(15.3) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den KVektorräumen V und W. f heißt
1o Isomorphismus, wenn f bijektiv ist.
2o Epimorphismus, wenn f surjektiv ist.
3o Monomorphismus, wenn f injektiv ist.
4o Endomorphismus, wenn V = W gilt.
5o Automorphismis, wenn V = W gilt, und f bijektiv ist.
(15.4) Lemma: {b1, b2, ... , bn} sei eine Basis von V . Dann wird für
jedes n-Tupel (w1, w2, ... , wn) von Vektoren aus W durch
f(s1b1 + s2b2 + ... + snbn) := s1w1 + s2w2 + ... + snwn
eine lineare Abbildung definiert.
Jede lineare Abbildung von V nach W hat diese Form.
Eine analoge Aussage gilt für unendlichdimensionale Vektorräume V.
(15.5) Lemma: Die Menge Hom(V,W) := {f ist linear Abbildung von
V nach W} ist ein Untervektorraum von KM.
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Kapitel III, §15
(15.6) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den KVektorräumen V und W.
1o Ker f := f –1(0), Kern von f .
2o Im f := f(V), Bild von f .
(15.7) Lemma: Sei f linear, A Teilmenge aus V .
1o Ker f und Im f sind Untervektorräume von V bzw. W .
2o f ist injektiv, genau dann wenn Ker f = {0} .
3o f(Span(A)) = Span(f(A)) .
4o Wenn E Erzeugendensystem von V ist, so ist f(E)
Erzeugendensystem von Im f .
5o A ist linear unabhängig, wenn das für f(A) gilt.
6o f(A) ist linear unabhängig, wenn das für A gilt und wenn f
injektiv ist.
(15.8) Satz: 1o Zwei endlichdimensionale K-Vektorräume sind
genau dann isomorph, wenn sie gleichdimensional sind.
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Kapitel III, §15
2o Jeder endlichdimensionale K-Vektorraum V ist zu einem
Kn isomorph mit n = dim V .
(15.9) Bemerkung: Jeder K-Vektorraum ist isomorph zu K(B) ,
wobei B eine Basis von V ist.
(15.9) Äquivalenzsatz für lineare Abbildungen: Für gleichdimensionale K-Vektorräume V und W von endlicher Dimension sind die folgenden Aussagen für lineare Abbildungen f von V nach W äquivalent:
1o f ist injektiv.
2o f ist surjektiv.
3o f ist bijektiv.
Mehr Information liegt in der Dimensionsformel, die auch für
unendlichdimensionale gültig ist:
(15.10) Satz (Dimensionsformel): Für eine lineare Abbildung f
von V nach W gilt:
dim Ker f + dim Im f = dim V
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